この記事では2年ほど前に出た 「フリーズの数学 スケッチ帖 数と幾何のきらめき 西山 享 著」の§2.2の演習問題の解答をする。
凸
数学的帰納法で示す。まず
が成り立つ。これと
が成り立ち、題意が示された。
凸
凸多角形とその奇蹄列の組
適当に円
以下同様に
このとき
となり、また
となることが帰納的にわかる。もし
形式的にはこのような証明だが、実際に図を描いてみると直感的にほとんど明らかだと思えるであろう。また、証明中に
今回は正三角形から始めて構成したが任意の凸多角形から構成することができ、周期は保たれる。また、構成の際二等辺三角形を各辺にくっつける手法をとったが、これは正三角形を二等辺三角形になるように整形してからくっつけたと考えられる。一般に凸多角形をくっつけられるように整形しくっつける操作は可能であるため、一般の凸多角形を構成に使うことができる。よって、厳密な周期
また、元のフリーズの本のp95の定理5.14から、厳密な周期は2か3しかないことが分かる。よって、上の構成で正三角形と正方形から始めることで厳密な周期が2,3である三角形分割はそれぞれ無数に存在することが分かる。
奇蹄列
フリーズの本定理2.7と同様の論法で示す。
三角形の場合は明らか。
凸