線形漸化式

はじめに

1階の線形漸化式の一般解を記述することができるのにしている人をあまり見ないので書き残しておく.

天下り的だが$a_{n+1}=p_n a_n$の解の一つとみなせる$\prod\limits_{i=1}^n p_i$で両辺を割る.
$$ \begin{align} \frac{a_{n+1}}{\prod\limits_{i=1}^{n+1} p_i} = \frac{a_{n}}{\prod\limits_{i=1}^{n} p_i}+ \frac{q_n}{\prod\limits_{i=1}^{n+1} p_i}\\ \frac{a_{n}}{\prod\limits_{i=1}^{n} p_k}=\frac{a_1}{p_1}+\sum_{i=1}^{n-1} \frac{q_{n}}{\prod\limits_{i=1}^{n+1} p_k}\\ a_{n}=\prod\limits_{i=1}^{n} p_i \left(\frac{a_1}{p_1}+\sum_{j=1}^{n-1} \frac{q_{j}}{\prod\limits_{i=1}^{j+1} p_i}\right) \quad \square \end{align} $$

天下り的だが$y’=p(x)y$の解の一つとみなせる$\exp({\int p(x)dx})$で両辺を割る
$$ \begin{align} y’e^{-\int p(x)dx}-p(x)ye^{-\int p(x)dx}=q(x)e^{-\int p(x)dx}\\ \left(ye^{-\int p(x)dx}\right)’=q(x)e^{-\int p(x)dx}\\ y=e^{\int p(x)dx}\left(\int q(x)e^{-\int p(x)dx}dx +C\right) \quad \square \end{align} $$