高校数学解説

3次元極座標の有効活用(?)

3次元極座標,三角関数の合成

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初めまして

まふけむと申します。
皆さんみたいにすごいことはできませんが頑張ります

3次元極座標を活用したい

$x, y, z \in R$ について $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ のとき $x + 2 y + 3 z$ の最大値を求めよ。

~~コーシー･シュワルツの不等式を使うのが一番簡単なのでしょうが~~好きな解法を紹介します。

$x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ より $(x, y, z) = (s i n θ c o s ϕ, s i n θ s i n ϕ, c o s θ)$ とおける。(ただし、 $0 \leq θ, ϕ < 2 π$ )
$(∵ (s i n θ c o s ϕ)^{2} + (s i n θ s i n ϕ)^{2} + (c o s θ)^{2} = s i n^{2} θ (c o s^{2} ϕ + s i n^{2} ϕ) + c o s^{2} θ = s i n^{2} θ + c o s^{2} θ = 1)$
このとき、 $x + 2 y + 3 z = s i n θ c o s ϕ + 2 s i n θ s i n ϕ + 3 c o s θ = s i n θ (c o s ϕ + 2 s i n ϕ) + 3 c o s θ = \sqrt{5} s i n (ϕ + α) s i n θ + 3 c o s θ$
(ただし、 $s i n α = 1 / \sqrt{5}, c o s α = 2 / \sqrt{5}$ )
引き続き計算すると $0 \leq ϕ < 2 π$ より $- 1 \leq s i n (ϕ + α) \leq 1$ なので与式が最大値をとる $s i n θ$ は正より $\sqrt{5} s i n (ϕ + α) s i n θ + 3 c o s θ$ の最大値は $\sqrt{5} s i n θ + 3 c o s θ$ の最大値と等しく
$\sqrt{5} s i n θ + 3 c o s θ = \sqrt{14} s i n (θ + β)$
(ただし、 $s i n β = 3 / \sqrt{14}, c o s β = \sqrt{5 / 14}$ )
より $0 \leq θ < 2 π$ とあわせて $- 1 \leq s i n (θ + β) \leq 1$
よって求める最大値は $\sqrt{14}$