3次元極座標の有効活用(?)
初めまして
まふけむと申します。
皆さんみたいにすごいことはできませんが頑張ります
3次元極座標を活用したい
$ x,y,z\in\mathbb{R}$について$x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$のとき$x+2y+3z$の最大値を求めよ。
コーシー･シュワルツの不等式を使うのが一番簡単なのでしょうが好きな解法を紹介します。
$x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$より$(x,y,z)=(sin\theta cos\phi ,sin \theta sin\phi,cos\theta )$とおける。(ただし、$0 \leq \theta,\phi<2\pi$)
$(\because (sin\theta cos\phi)^{2}+(sin \theta sin\phi)^{2}+(cos\theta)^{2}=sin^{2}\theta(cos^{2}\phi+sin^{2}\phi)+cos^{2}\theta=sin^{2}\theta+cos^{2}\theta=1)$
このとき、$x+2y+3z=sin\theta cos\phi +2sin\theta sin\phi+3cos\theta= sin\theta(cos\phi+2sin\phi)+3cos\theta=\sqrt{5}sin(\phi+\alpha)sin\theta+3cos\theta$
(ただし、$sin\alpha= 1/\sqrt{5},cos\alpha= 2/\sqrt{5} $)
引き続き計算すると$0 \leq \phi<2\pi$より$-1 \leq sin(\phi+\alpha) \leq 1$なので与式が最大値をとる$sin\theta$は正より$\sqrt{5}sin(\phi+\alpha)sin\theta+3cos\theta $の最大値は$\sqrt{5}sin\theta+3cos\theta $の最大値と等しく
$\sqrt{5}sin\theta+3cos\theta=\sqrt{14}sin(\theta+\beta)$
(ただし、$sin\beta=3/\sqrt{14},cos\beta=\sqrt{5/14}$)
より$0 \leq \theta<2\pi$とあわせて$-1 \leq sin(\theta+\beta) \leq 1$
よって求める最大値は$\sqrt{14}$
終わりに
これを使う積分はやったことないんですけど積分で主に使われるっぽいですね。
正直有用性はあんまりない気もしますが二次元と同じように三角関数の合成を使いたかっただけです。
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