1/(1+x^n)の[0,1]での積分, n=1から6まで

　こんにちは、今回は$\displaystyle \int_{0}^{1}\frac{1}{1+x^n}\,\mathrm{d}x$を$n=1 \sim6$で解いていきます。
それにあたって、便利な公式を初めに紹介しておきます。

フーリエ級数展開や、複素対数のマクローリン展開などからすんなりみちびけます。
今回のテーマのメインではないので証明は省きます。n=3以降の計算でたくさん使います。

$n=1$

$$ \begin{aligned} \int_{0}^{1}\frac{1}{1+x}\,\mathrm{d}x &= \bigg[\ln|1+x|\bigg]_{0}^{1}\\[8pt] &= \ln 2 \end{aligned} $$

$n=2$

$$ \begin{aligned} \int_{0}^{1}\frac{1}{1+x^2}\,\mathrm{d}x &= \bigg[\arctan{x}\bigg]_{0}^{1}\\[8pt] &= \frac{\pi}{4} \end{aligned} $$

$n=3$

$$ \begin{aligned} \int_{0}^{1}\frac{1}{1+x^3}\,\mathrm{d}x &=\int_{0}^{1}\sum_{n=0}^{\infty}(-x)^{3n}\,\mathrm{d}x\\[8pt] &=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\int_{0}^{1}x^{3n}\,\mathrm{d}x\\[8pt] &=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{3n+1}\\[8pt] \end{aligned} $$
ここで数列$\varepsilon_n$を$$ \varepsilon_n= \begin{cases} 1 & (n\equiv1\pmod6)\\ -1 & (n\equiv4\pmod6)\\ 0 & (\text{otherwise}) \end{cases} $$
と定義します。そうすると
$$ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{3n+1} =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\varepsilon_n}{n} $$
$\varepsilon_n$は周期数列(周期6)であるため、三角関数の和で表すことが出来る。
（一般に周期がTの数列は高々T個の独立な三角関数の線形結合で表すことが出来る）
今回の場合は
$$ \varepsilon_n =\frac13\cos\frac{\pi n}{3} +\frac1{\sqrt3}\sin\frac{\pi n}{3} -\frac13\cos(\pi n) $$
となる。これは離散フーリエ展開によって得ることが出来る。

$$ \begin{aligned} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\varepsilon_n}{n} &=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\left(\frac13\cos\frac{\pi n}{3}+\frac1{\sqrt3}\sin\frac{\pi n}{3}-\frac13\cos(\pi n)\right)\\[12pt] &=\frac13\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos\frac{\pi n}{3}}{n}+\frac1{\sqrt3}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin\frac{\pi n}{3}}{n}-\frac13\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(\pi n)}{n} \end{aligned} $$

ここれ公式1を使うと
$$ \begin{aligned} \qquad\quad \;=-\frac13\log\left(2\left|\sin\frac{\pi}{6}\right|\right) +\frac1{\sqrt3}\cdot\frac{\pi-\frac{\pi}{3}}{2} +\frac13\log\left(2\left|\sin\frac{\pi}{2}\right|\right) \end{aligned} $$
$$ \qquad\quad \;=\frac13\log2+\frac{\pi}{3\sqrt3} $$
求まりました。
$$ \int_{0}^{1}\frac{1}{1+x^3}\,\mathrm{d}x =\frac13\log2+\frac{\pi}{3\sqrt3} $$

n=4

ながれはn=3の時と全く同じです
$$ \int_{0}^{1}\frac{1}{1+x^4}\,\mathrm{d}x =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{4n+1} $$ここで
$$ \varepsilon_n= \begin{cases} 1 & (n\equiv1\pmod8)\\ -1 & (n\equiv5\pmod8)\\ 0 & (\text{otherwise}) \end{cases} $$と定義。このとき$\varepsilon_n$は三角関数を用いて下のように表すことが出来る。
$$ \varepsilon_n =\frac{1}{2\sqrt2}\left( \cos\frac{\pi n}{4} +\sin\frac{\pi n}{4} -\cos\frac{3\pi n}{4} +\sin\frac{3\pi n}{4} \right) $$
よって

$$ \begin{aligned} \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{4n+1} &=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\varepsilon_n}{n}\\[8pt] &=\frac{1}{2\sqrt2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac1n \left( \cos\frac{\pi n}{4} +\sin\frac{\pi n}{4} -\cos\frac{3\pi n}{4} +\sin\frac{3\pi n}{4} \right)\\[8pt] &=\frac{1}{2\sqrt2}\left[ -\log\left(2\left|\sin\frac{\pi}{8}\right|\right) +\frac{\pi-\frac{\pi}{4}}2 +\log\left(2\left|\sin\frac{3\pi}{8}\right|\right) +\frac{\pi-\frac{3\pi}{4}}2 \right]\\[8pt] &=\frac{\log(1+\sqrt2)}{2\sqrt2}+\frac{\pi}{4\sqrt2} \end{aligned} $$
求まりました。なかなか速く計算できます
$$ \int_{0}^{1}\frac{1}{1+x^4}\,\mathrm{d}x =\frac{\log(1+\sqrt2)}{2\sqrt2}+\frac{\pi}{4\sqrt2} $$

n=6

n=5は計算量が多いので、最後に記す。まあやることは変わらないけど
$$ \int_{0}^{1}\frac{1}{1+x^6}\,\mathrm{d}x =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{6n+1} $$
ここで
$$ \varepsilon_n= \begin{cases} 1 & (n\equiv1\pmod{12})\\ -1 & (n\equiv7\pmod{12})\\ 0 & (\text{otherwise}) \end{cases} $$
と定義。このとき$\varepsilon_n$は三角関数を用いて下のように表せる。
$$ \varepsilon_n =\frac{1}{6}\left( \sqrt3\cos\frac{\pi n}{6} +\sin\frac{\pi n}{6} +2\sin\frac{\pi n}{2} -\sqrt3\cos\frac{5\pi n}{6} +\sin\frac{5\pi n}{6} \right) $$
よって
$$ \begin{aligned} \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{6n+1} &=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\varepsilon_n}{n}\\[8pt] &=\frac{1}{6}\sum_{n=1}^{\infty}\frac1n \left( \sqrt3\cos\frac{\pi n}{6} +\sin\frac{\pi n}{6} +2\sin\frac{\pi n}{2} -\sqrt3\cos\frac{5\pi n}{6} +\sin\frac{5\pi n}{6} \right)\\[8pt] &=\frac{1}{6}\left[ -\sqrt3\log\left(2\left|\sin\frac{\pi}{12}\right|\right) +\frac{\pi-\frac{\pi}{6}}2 +2\cdot\frac{\pi-\frac{\pi}{2}}2 +\sqrt3\log\left(2\left|\sin\frac{5\pi}{12}\right|\right) +\frac{\pi-\frac{5\pi}{6}}2 \right]\\[8pt] &=\frac{\log(2+\sqrt3)}{2\sqrt3}+\frac{\pi}{6} \end{aligned} $$
よって
$$ \int_{0}^{1}\frac{1}{1+x^6}\,\mathrm{d}x =\frac{\log(2+\sqrt3)}{2\sqrt3}+\frac{\pi}{6} $$

最後

n=5

$$ \int_{0}^{1}\frac{1}{1+x^5}\,\mathrm{d}x =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{5n+1} $$
以降、黄金数を$\phi$で表す
$\displaystyle\phi=\frac{1+\sqrt5}{2}$ である。

数列$\varepsilon_n$を
$$ \varepsilon_n= \begin{cases} 1 & (n\equiv1\pmod{10})\\ -1 & (n\equiv6\pmod{10})\\ 0 & (\text{otherwise}) \end{cases} $$
と定義。このとき$\varepsilon_n$は三角関数を用いて下のように表すことが出来る。
$$ \varepsilon_n =\frac15\left( \phi\cos\frac{\pi n}{5} +2\sin\frac{\pi}{5}\sin\frac{\pi n}{5} -\frac1\phi\cos\frac{3\pi n}{5} +2\sin\frac{3\pi}{5}\sin\frac{3\pi n}{5} -\cos\pi n \right) $$
よって
$$ \begin{aligned} \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{5n+1} &=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\varepsilon_n}{n}\\[8pt] &=\frac15\sum_{n=1}^{\infty}\frac1n \left( \phi\cos\frac{\pi n}{5} +2\sin\frac{\pi}{5}\sin\frac{\pi n}{5} -\frac1\phi\cos\frac{3\pi n}{5} +2\sin\frac{3\pi}{5}\sin\frac{3\pi n}{5} -\cos\pi n \right)\\[8pt] &=\frac15\left[ -\phi\log\left(2\left|\sin\frac{\pi}{10}\right|\right) +2\sin\frac{\pi}{5}\cdot\frac{\pi-\frac{\pi}{5}}2 +\frac1\phi\log\left(2\left|\sin\frac{3\pi}{10}\right|\right) +2\sin\frac{3\pi}{5}\cdot\frac{\pi-\frac{3\pi}{5}}2 +\log2 \right]\\[8pt] &=\frac15\left[ \left(\phi+\frac1\phi\right)\log\phi+\log2 +\frac{4\pi}{5}\sin\frac{\pi}{5} +\frac{2\pi}{5}\sin\frac{3\pi}{5} \right]\\[8pt] &=\frac15\left[ \log\left(2\phi^{\sqrt5}\right) +\pi\sqrt{\frac{\phi}{\sqrt5}} \right] \end{aligned} $$
結構途中過程の三角関数の計算を端折らせてもらいましたが、きちんと値を求めることが出来ます。
$$ \int_{0}^{1}\frac{1}{1+x^5}\,\mathrm{d}x =\frac15\left[ \log\left(2\phi^{\sqrt5}\right) +\pi\sqrt{\frac{\phi}{\sqrt5}} \right] $$
まあまあきれいな結果ではないですか？

以上です。ここまで読んでくれた方に感謝します。