この記事では
まず最初に漸化式を立てることを考えた。
任意の自然数
により定める。このとき
と表せる。
数学的帰納法により示す。
より
この漸化式を解けば問題の解決となる。そこでこれを行列により表示しよう。次のようになる。
これを
となる。これが計算できれば良い。しかし計算してみるとわかるが規則性がよくわからない。計算結果を以下に記す(手計算なので間違いがあるかもしれない)。また、漸化式は
となり、以降は右上の上三角が0であるような行列になる。ここで少し詰まってしまった。
任意の自然数
により定める。このとき
と表せる。
数学的帰納法により示す。
より
命題1の場合と違って自然数
となる。これを新たに
となる。ここで
となる。各
数学的帰納法で示す。
ここで、
が成り立ち、また
より
となり
以上の結果を
となるため、次が成り立つことが分かる。
命題3で示したことと簡単な計算により
特に
であるから
となり示された。
以上により当初の目的は果たされたわけだが、せっかくなのでこの式で少し遊んでみることにする。
まず、
また、多少計算することで以下も従う。
(2)は(1)にて
より従う。ただし
を用いた。
次が成り立つ。ただし
(1)
(2)
(3)
(4)
今回特に先行研究を探したりしていないので、もし既出であったり、何か間違いなどあれば是非教えていただきたい。かなり非自明な式が得られたのでもっと面白いことができそうな予感がする。途中フーリエ係数を考えたりしたがそちらでも似たような関係式が成り立っていたので今回と同じような議論をすればもしかしたらそちらも求まるかもしれない。
かなり時間がかかってしまったので今回の問題のような構造は今後見逃さずに行きたい。あと、今回のことで線形代数の重要さを改めて認識した。もっと勉強しなければ。
やりたい操作を追記する。
命題4、命題4系の式を足し引きしたらうまいこと項が消えて面白い関係式が得られそう。命題5も同様。また、sinの方に虚数単位iをかけて足し引きしてもオイラーの公式とかも使っていい感じに計算できそう。sin^2x+cos^2x=1,やオイラーの公式の指数についての一般化と見れるだろう。
sinやcosのテイラー展開などを考えて係数比較と化しても面白そう。また、sin,cosの微分は考えたが積分も考えたい。その結果が何らかの非自明な無限級数の値に結びついたら行幸。
一般化二項級数に倣いsinの累乗の指数の実数や複素数への拡張も考えられないか。これは厳しそうな予感がするができたらとても面白い。