二重シグマの変形方法

(横に長いため小さめにしています)
$$\begin{array}{rl}\sum _{k=1}^{n}f(k)\sum _{i=1}^{k}g(i)& =\underset{}{f(1)g(1)+f(2)(g(1)+g(2))+f(3)(g(1)+g(2)+g(3))+\cdots +f(n)(g(1)+g(2)+\cdots +g(n))}\\ & =\underset{}{(f(1)+f(2)+\cdots +f(n))g(1)+(f(2)+f(3)+\cdots +f(n))g(2)+(f(3)+f(4)+\cdots +f(n))g(3)+\cdots +f(n)g(n)}\\ & =\underset{}{\sum _{k=1}^n(\sum _{i=k}^{n}f(i))g(k)}\\ & =\sum _{k=1}^{n}g(k)\sum _{i=k}^{n}f(i)\end{array}$$