コーシーシュワルツの不等式の証明

$n$次元空間のベクトルを
$$\begin{array}{rcl}\alpha & =& (a_1,a_2,\cdots ,a_n)\\ \beta & =& (b_1,b_2,\cdots ,b_n)\end{array}$$とおく。この二つのベクトルのなす角を$\theta$とおき、$n$次元空間においてその二つのベクトルが張る平面内の平行四辺形の面積Sは
$$\begin{array}{rcl}S& =& |\alpha ||\beta |\sin \left(\theta \right)\end{array}$$である。面積$S$は$0$以上なので、
$$\begin{array}{rcl}S& =& |\alpha ||\beta |\sqrt{1-{\cos }^2(\theta )}=|\alpha ||\beta |\sqrt{1-{\left(\frac{\alpha \cdot \beta }{|\alpha ||\beta |}\right)}^2}\\ & =& |\alpha ||\beta |\sqrt{1-{\left(\frac{\alpha \cdot \beta }{|\alpha ||\beta |}\right)}^2}\\ & =& |\alpha ||\beta |\sqrt{\frac{(|\alpha ||\beta |{)}^2-(\alpha \cdot \beta {)}^2}{(|\alpha ||\beta |{)}^2}}\\ & =& \sqrt{(|\alpha ||\beta |{)}^2-(\alpha \cdot \beta {)}^2}\ge 0\end{array}$$ここで両辺を二乗して
$$\begin{array}{rcl}(|\alpha ||\beta |{)}^2-(\alpha \cdot \beta {)}^2& \ge & 0\\ (|\alpha ||\beta |{)}^2& \ge & (\alpha \cdot \beta {)}^2\\ |\alpha {|}^2|\beta {|}^2& \ge & (\alpha \cdot \beta {)}^2\end{array}$$
よって
$$(a_1^2+a_2^2+\cdots +a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\cdots +b_n^2)\ge (a_1{b}_1+a_2{b}_2+\cdots +a_n{b}_n{)}^2$$が成立し命題が示された。