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で示したD. Shanksによる等式
はGauss和の符号決定に応用することができる. 奇数
となることは比較的容易に示されることであり,
であることまでは分かる. しかし, その符号を決定することはそれより難しい問題として知られている. 以下はD. Shanksによる1958年の証明である.
Shanksによる等式
において,
ここで,
とすると, 2つの等式は
となる.
ここで,
である.
ここで,
であることから,
を得る. これは虚部が正である. よって,
が成り立つ.