D. ShanksによるGauss和の符号決定
前回の記事
で示したD. Shanksによる等式
\begin{align}
\frac{(q^2;q^2)_n}{(q;q^2)_n}\sum_{j=0}^n\frac{(q;q^2)_j}{(q^2;q^2)_j}q^{-n(2j+1)}&=\sum_{j=0}^{2n}q^{-\binom{j+1}2}\\
\frac{(q^2;q^2)_n}{(q;q^2)_n}\sum_{j=0}^{n-1}\frac{(q;q^2)_j}{(q^2;q^2)_j}q^{-n(2j+1)}&=\sum_{j=0}^{2n-1}q^{-\binom{j+1}2}
\end{align}
はGauss和の符号決定に応用することができる. 奇数$N$に対して, Gauss和の二乗が
\begin{align}
\left(\sum_{k=0}^{N-1}e^{\frac{2\pi ik^2}{N}}\right)^2=(-1)^{\frac{N-1}2}N
\end{align}
となることは比較的容易に示されることであり,
\begin{align}
\sum_{k=0}^{N-1}e^{\frac{2\pi ik^2}{N}}=\pm\sqrt{(-1)^{\frac{N-1}2}N}
\end{align}
であることまでは分かる. しかし, その符号を決定することはそれより難しい問題として知られている. 以下はD. Shanksによる1958年の証明である.
\begin{align} \sum_{k=0}^{N-1}e^{\frac{2\pi ik^2}{N}}&=\begin{cases} \sqrt{N}\qquad N=1\pmod 4\\ i\sqrt{N}\qquad N=3\pmod 4\\ \end{cases} \end{align}
Shanksによる等式
\begin{align}
\frac{(q^2;q^2)_n}{(q;q^2)_n}\sum_{j=0}^n\frac{(q;q^2)_j}{(q^2;q^2)_j}q^{-n(2j+1)}&=\sum_{j=0}^{2n}q^{-\binom{j+1}2}\\
\frac{(q^2;q^2)_n}{(q;q^2)_n}\sum_{j=0}^{n-1}\frac{(q;q^2)_j}{(q^2;q^2)_j}q^{-n(2j+1)}&=\sum_{j=0}^{2n-1}q^{-\binom{j+1}2}
\end{align}
において, $q=v^2, v=e^{i\theta}$とすると,
\begin{align}
\frac{(q^2;q^2)_n}{(q;q^2)_n}&=v^n\prod_{k=1}^n\frac{v^{2k}-v^{-2k}}{v^{2k-1}-v^{1-2k}}\\
&=v^n\prod_{k=1}^n\frac{\sin 2k\theta}{\sin(2k-1)\theta}
\end{align}
ここで,
\begin{align}
Q_n:=\prod_{k=1}^n\frac{\sin 2k\theta}{\sin(2k-1)\theta}
\end{align}
とすると, 2つの等式は
\begin{align}
\sum_{j=0}^n\frac{Q_n}{Q_j}v^{-j-n-4jn}&=\sum_{j=0}^{2n}v^{-j^2-j}\\
\sum_{j=0}^{n-1}\frac{Q_n}{Q_j}v^{-j-n-4jn}&=\sum_{j=0}^{2n-1}v^{-j^2-j}
\end{align}
$\theta$を実数として複素共役を考えると,
\begin{align}
\sum_{j=0}^n\frac{Q_n}{Q_j}v^{j+n+4jn}&=\sum_{j=0}^{2n}v^{j^2+j}\\
\sum_{j=0}^{n-1}\frac{Q_n}{Q_j}v^{j+n+4jn}&=\sum_{j=0}^{2n-1}v^{j^2+j}
\end{align}
となる. $N$を奇数として, $N:=2r+1, \theta:=\frac{2\pi}{N}$とすると,
\begin{align}
\sum_{k=0}^{N-1}v^{k^2}&=\sum_{k=-r}^rv^{(r+k)^2}\\
&=v^{r^2}\sum_{k=-r}^rv^{(N-1)k+k^2}\\
&=v^{r^2}\sum_{k=-r}^rv^{k^2-k}\\
&=v^{r^2}\left(\sum_{k=0}^{r-1}v^{k^2+k}+\sum_{k=0}^rv^{k^2+k}\right)
\end{align}
$r$を偶数のとき, $r=2n$とすると,
\begin{align}
\sum_{k=0}^{N-1}v^{k^2}&=v^{4n^2}\left(\sum_{k=0}^{2n-1}v^{k^2+k}+\sum_{k=0}^{2n}v^{k^2+k}\right)\\
&=\sum_{j=0}^{l-1}\frac{Q_n}{Q_j}v^{(j+n)(4n+1)}+\sum_{j=0}^l\frac{Q_n}{Q_j}v^{(j+n)(4n+1)}\\
&=\sum_{j=0}^{n-1}\frac{Q_n}{Q_j}+\sum_{j=0}^n\frac{Q_n}{Q_j}\qquad(v^{4n+1}=1)
\end{align}
ここで, $Q_k$は$k=0,1,\dots,n$に対して正の実数であるから,
\begin{align}
\sum_{k=0}^{N-1}v^{k^2}&=\sqrt{N}
\end{align}
である. $r$が奇数のとき, $r=2n+1$とすると,
\begin{align}
\sum_{k=0}^{N-1}v^{k^2}&=v^{(2n+1)^2}\left(\sum_{k=0}^{2n}v^{k^2+k}+\sum_{k=0}^{2n+1}v^{k^2+k}\right)\\
&=v^{(2l+1)^2}\left(\sum_{j=0}^n\frac{Q_n}{Q_j}v^{j+n+4jn}+\sum_{j=0}^n\frac{Q_{n+1}}{Q_j}v^{j+(n+1)+4j(n+1)}\right)\\
&=\sum_{j=0}^nv^{(4n+3)(n+j)}\left(v^{2n+1-2j}\frac{Q_n}{Q_j}+v^{2n+2+2j}\frac{Q_{n+1}}{Q_n}\right)
\end{align}
ここで, $v^{4n+3}=1$と
\begin{align}
Q_{n+1}&=\frac{\sin(2n+2)\theta}{\sin(2n+1)\theta}Q_n=-Q_n
\end{align}
であることから,
\begin{align}
\sum_{k=0}^{N-1}v^{k^2}&=2i\sum_{j=0}^n\sin((2n+1-2j)\theta)\frac{Q_n}{Q_j}
\end{align}
を得る. これは虚部が正である. よって,
\begin{align}
\sum_{k=0}^{N-1}v^{k^2}&=i\sqrt{N}
\end{align}
が成り立つ.
$q$級数の有限和の等式を応用することで, 符号が分かるのは興味深いと思う.
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