素微分友愛数となる相異なる自然数同士は互いに素

$D^2(n)$を計算すると、
$$D^2(n)=D(D(n))$$
$$=D(n\cdot \mathrm{ld}(n))$$
$$=D(n)\cdot \mathrm{ld}(n)+n\cdot D(\mathrm{ld}(n))$$
$$=n\cdot \mathrm{ld}(n{)}^2+n\cdot D(\mathrm{ld}(n))$$
$n$が素微分友愛数ならば、
$$D^2(n)=n=n\cdot \mathrm{ld}(n{)}^2+n\cdot D(\mathrm{ld}(n))$$
両辺をnで割れば、
$$1=\mathrm{ld}(n{)}^2+D(\mathrm{ld}(n))\cdots (1)$$

さて、$\mathrm{ld}(n)$および$D(\mathrm{ld}(n))$は共に、有理数である。
そこで、$\mathrm{ld}(n)$として、互いに素な自然数$a,b$を用いて、
$$\mathrm{ld}(n)=\frac{b}{a}$$
とおく。すると関係式$(1)$から$D(\mathrm{ld}(n))$は、
$$D(\mathrm{ld}(n))=1-{\left(\frac{b}{a}\right)}^2=\frac{a^2-b^2}{a^2}\cdots (2)$$
と書ける。
対して、$\mathrm{ld}(n)=\frac{b}{a}$を素微分すると、
$$D\left(\frac{b}{a}\right)=D(a^{-1}\cdot b)$$
$$=a^{-1}\cdot D(b)+D(a^{-1})\cdot b$$
$$=a^{-1}\cdot D(b)-a^{-2}D(a)\cdot b$$
$$=\frac{a\cdot D(b)-D(a)\cdot b}{a^2}\cdots (3)$$
式$(2)(3)$を比べて、
$$\frac{a^2-b^2}{a^2}=\frac{a\cdot D(b)-D(a)\cdot b}{a^2}$$
$$a^2-b^2=a\cdot D(b)-D(a)\cdot b$$
$a,b$で因数をまとめると、
$$a^2-a\cdot D(b)=b^2-D(a)\cdot b$$
$$a\cdot (a-D(b))=b\cdot (b-D(a))$$
両辺が整数であり、$a,b$が互いに素であるため、全体は$a\cdot b$を因数にもつ。
つまり整数$s$が存在して、以下のように書ける。
$$a\cdot (a-D(b))=b\cdot (b-D(a))=abs$$
これにより、2組の関係式を得られる。

$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}a-D(b)=bs\cdots (4)\\ b-D(a)=as\cdots (5)\end{array}\end{array}$$

$s$について考察する。

$s>0$の場合は、大小関係から$a\ge b$かつ$b\ge a$が成り立つので、等式が成り立つならば$a=b=s=1$が分かり、これは素微分完全数に対応する。

$s<0$の場合を考える。
$\mathrm{ld}(n)=\frac{b}{a}$であったから、$n,D(n)$との間には以下の関係が成り立つ。
$$D(n)=\frac{b}{a}\cdot n$$
これを変形し、
$$D(n)=\frac{b}{a}\cdot n$$
$$D(n)\cdot a=b\cdot n$$
等式より、ある正の整数(t)が存在して、
$$D(n)\cdot a=b\cdot n=abt$$
とできて、
$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}n=at\cdots (6)\\ D(n)=bt\cdots (7)\end{array}\end{array}$
の二つの式ができる。
(6)を素微分すると、(7)に等しくなることから、
$$D(n)=D(a)\cdot t+a\cdot D(t)=bt$$
$D(a)$として、式$(5)$を適用し、
$$(b-as)\cdot t+a\cdot D(t)=bt$$
$$-a\cdot s\cdot t+a\cdot D(t)=0$$
$$D(t)=s\cdot t$$
正の整数$t$に対して、$D(t)\ge 0$であるため、$s<0$は不適。

残るは$s=0$の場合である。この場合、$t=1$であることも分かるので
式$(6)(7)$に代入して、
$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}n=a\\ D(n)=b\end{array}\end{array}$
$a,b$は互いに素であったので、$n$と$D(n)$は互いに素。

証明終