素微分友愛数となる相異なる自然数同士は互いに素

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前提

$ p_i $を0から数えてi番目の素数とする。また$ q_i $は有理数とする。
$n=\displaystyle \prod_{i=0}^{\infty} {p_i}^{q_i} $と書けるとき、素微分$D$を以下のように定義する。
$$D(n) := n \displaystyle \sum_{i=0}^{\infty} \frac{q_i}{p_i} $$
また対数素微分ldを次のように定義する。
$$\mathrm{ld}(n) := \displaystyle \sum_{i=0}^{\infty} \frac{q_i}{p_i}$$
以下の関係式は明らか。

$$D(n) = n \cdot \mathrm{ld}(n)$$

本題

素微分友愛数とは、

$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} n=D(m) \\ m=D(n) \end{array} \right. \end{eqnarray} $

となる自然数の組$n,m$である。
今のところ、素微分友愛数となるのは自明な$n=m=p^p$となる自然数しか見つかっていない。なお、$n=m=D(n)$となる自然数は素微分完全数と呼ばれている。

素微分友愛数の性質

素微分友愛数である自然数$n,m$については、以下のいずれかが成り立つ。

$n=m$(素微分完全数)
$n,m$が互いに素

$D^2(n) $を計算すると、
$$D^2(n)=D(D(n))$$
$$=D(n \cdot \mathrm{ld}(n ))$$
$$=D(n) \cdot \mathrm{ld}(n ) \ + \ n \cdot D(\mathrm{ld}(n))$$
$$=n \cdot \mathrm{ld}(n)^2 \ + \ n \cdot D(\mathrm{ld}(n))$$
$n$が素微分友愛数ならば、
$$D^2(n)=n=n \cdot \mathrm{ld}(n)^2 \ + \ n \cdot D(\mathrm{ld}(n)) $$
両辺をnで割れば、
$$1= \mathrm{ld}(n)^2 \ + \ D(\mathrm{ld}(n)) \cdots (1) $$

さて、$\mathrm{ld}(n)$および$D(\mathrm{ld}(n))$は共に、有理数である。
そこで、$ \mathrm{ld}(n)$として、互いに素な自然数$a,b$を用いて、
$$\mathrm{ld}(n)=\frac{b}{a}　$$
とおく。すると関係式$(1)$から$D(\mathrm{ld}(n))$は、
$$D(\mathrm{ld}(n)) = 1-\left( \frac{b}{a} \right)^2=\frac{a^2-b^2}{a^2} \cdots(2)$$
と書ける。
対して、$\mathrm{ld}(n)=\frac{b}{a}$を素微分すると、
$$D \left( \frac{b}{a} \right)= D(a^{-1} \cdot b)$$
$$=a^{-1} \cdot D(b) + D(a^{-1} )\cdot b $$
$$=a^{-1} \cdot D(b) - a^{-2}D(a )\cdot b$$
$$=\frac{a\cdot D(b) - D(a )\cdot b}{a^2} \cdots (3)$$
式$(2)(3)$を比べて、
$$\frac{a^2-b^2}{a^2} = \frac{a\cdot D(b) - D(a )\cdot b}{a^2} $$
$$a^2-b^2 = a\cdot D(b) - D(a )\cdot b$$
$a,b$で因数をまとめると、
$$a^2-a\cdot D(b) = b^2 - D(a )\cdot b$$
$$a\cdot (a- D(b)) = b\cdot (b - D(a ))$$
両辺が整数であり、$a,b$が互いに素であるため、全体は$a \cdot b$を因数にもつ。
つまり整数$s$が存在して、以下のように書ける。
$$a\cdot (a- D(b)) = b\cdot (b - D(a )) =abs$$
これにより、2組の関係式を得られる。

$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} a-D(b)=bs \cdots(4) \\ b-D(a)=as \cdots(5) \end{array} \right. \end{eqnarray} $$

$s$について考察する。

$s>0$の場合は、大小関係から$a \geq b$かつ$b \geq a$が成り立つので、等式が成り立つならば$a=b=s=1$が分かり、これは素微分完全数に対応する。

$s<0$の場合を考える。
$\mathrm{ld}(n)=\frac{b}{a}$であったから、$n,D(n)$との間には以下の関係が成り立つ。
$$D(n)=\frac{b}{a} \cdot n $$
これを変形し、
$$D(n)=\frac{b}{a} \cdot n $$
$$D(n) \cdot a= b \cdot n$$
等式より、ある正の整数(t)が存在して、
$$D(n) \cdot a= b \cdot n =abt $$
とできて、
$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} n =at \cdots (6) \\ D(n)=bt \cdots (7) \end{array} \right. \end{eqnarray}$
の二つの式ができる。
(6)を素微分すると、(7)に等しくなることから、
$$D(n) =D(a) \cdot t \ + \ a \cdot D(t) =bt$$
$D(a)$として、式$(5)$を適用し、
$$(b - as ) \cdot t \ + \ a \cdot D(t) =bt $$
$$- a \cdot s \cdot t \ + \ a \cdot D(t) =0$$
$$ D(t) =s \cdot t $$
正の整数$t$に対して、$D(t) \geq 0$であるため、$s<0$は不適。

残るは$s=0$の場合である。この場合、$t=1$であることも分かるので
式$(6)(7)$に代入して、
$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} n=a \\ D(n)=b \end{array} \right. \end{eqnarray}$
$a,b$は互いに素であったので、$n$と$D(n)$は互いに素。

証明終