無限級数その６／適用その２

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［定理06］
$0 < r < 1 ， D > 1 ， 0 < j < D$ で
$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{r^{j + n D}}{j + n D} = \int_{0}^{r} \frac{x^{j - 1}}{1 - x^{D}} d x$

［証明］［定理02］を使う．
$\sum_{n = 0}^{N - 1} \frac{r^{j + n D}}{j + n D} = \frac{r^{j}}{j} \sum_{n = 0}^{N - 1} \frac{(r^{D})^{n}}{1 + n (\frac{D}{j})} \to \frac{r^{j}}{j} \int_{0}^{1} \frac{1}{1 - r^{D} x^{\frac{D}{j}}} d x$
$y^{j} = r^{j} x$ とおく．
$\frac{r^{j}}{j} \int_{0}^{1} \frac{1}{1 - r^{D} x^{\frac{D}{j}}} d x = \frac{r^{j}}{j} \int_{0}^{r} \frac{1}{1 - y^{D}} \frac{j y^{j - 1}}{r^{j}} d y = \int_{0}^{r} \frac{y^{j - 1}}{1 - y^{D}} d y$
よって，成り立つ．□□

［適用その２］
$0 < r < 1$ で
$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{r^{3 n - 2}}{3 n - 2} = \int_{0}^{r} \frac{1}{1 - x^{3}} d x$
$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{r^{3 n - 1}}{3 n - 1} = \int_{0}^{r} \frac{x}{1 - x^{3}} d x$
ここで， $r + \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \tan α ， \frac{π}{6} < α < \frac{π}{3}$ とすると
定積分の値は順に複号をとるとして，
$\frac{\log (1 - r^{3}) (1 - r)}{6} \pm \frac{1}{\sqrt{3}} (α - \frac{π}{6})$
［定理01］からは，
$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{r^{3 n}}{3 n} = - \frac{1}{3} \log (1 - r^{3})$

投稿日：2024年12月6日

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