無限級数その６／適用その２
［定理06］
$0 \lt r \lt1，D \gt 1， 0 \lt j \lt D $ で
$$\sum_{n=0}^{∞} \frac{ r^{j+nD} }{j+nD}= \int_{0}^{r} \frac{ x^{j-1} }{1-x^D}dx $$
［証明］［定理02］を使う．
$$\sum_{n=0}^{N-1} \frac{ r^{j+nD} }{j+nD}= \frac{ r^j}{j}\sum_{n=0}^{N-1} \frac{ (r^D)^{n} }{1+n( \frac{D}{j} )} \rightarrow \frac{ r^j}{j} \int_{0}^{1} \frac{ 1 }{1-r^Dx^{\frac{D}{j}}}dx $$
$y^j=r^jx$とおく．
$$ \frac{ r^j}{j} \int_{0}^{1} \frac{ 1 }{1-r^Dx^{\frac{D}{j}}}dx=\frac{ r^j}{j}\int_{0}^{r} \frac{ 1}{1-y^D}\frac{jy^{j-1}}{r^j}dy=\int_{0}^{r} \frac{ y^{j-1}}{1-y^D}dy $$
よって，成り立つ．□□
［適用その２］
$0 \lt r \lt1 $ で
$$\sum_{n=1}^{∞} \frac{ r^{3n-2} }{3n-2}= \int_{0}^{r} \frac{ 1 }{1-x^3}dx $$
$$\sum_{n=1}^{∞} \frac{ r^{3n-1} }{3n-1}= \int_{0}^{r} \frac{ x }{1-x^3}dx $$
ここで，$$r+ \frac{1}{2}= \frac{ \sqrt{3}} {2} \tan \alpha， \frac{ \pi}{6} \lt \alpha \lt \frac{ \pi}{3} $$とすると
定積分の値は順に複号をとるとして，
$$ \frac{ \log{(1-r^3)(1-r)}}{6} \pm \frac{1}{\sqrt{3}}( \alpha- \frac{ \pi }{6} ) $$
［定理01］からは，
$$\sum_{n=1}^{∞} \frac{ r^{3n} }{3n}= -\frac{ 1 }{3}\log(1-r^3) $$
