変形Bessel関数の4つの積の積分2
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で4つの変形Bessel関数の積の積分
\begin{align}
\int_0^{\infty}t^{1-2\nu}I_{\nu}(t)^kK_{\nu}(t)^{4-k}\,dt\qquad 0\leq k\leq 2
\end{align}
を計算したが, 今回は以下の2つの積分を計算する.
\begin{align}
&\int_0^{\infty}tI_{\nu}(t)K_{\nu}(t)^3\,dt\\
&\int_0^{\infty}tK_{\nu}(t)^4\,dt
\end{align}
2つだけを考える理由としては, 前回とは違い
\begin{align}
\int_0^{\infty}tI_{\nu}(t)^2K_{\nu}(t)^2\,dt
\end{align}
は収束していないからである.
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で用いた補題1, 補題2を今回も用いる.
\begin{align} \int_0^{\infty}t^{s-1}I_{\nu}(t)K_{\nu}(t)\,dt&=\frac{\Gamma\left(\frac s2\right)\Gamma\left(\frac s2+\nu\right)\Gamma\left(\frac{1-s}2\right)}{4\sqrt{\pi}\Gamma\left(1+\nu-\frac s2\right)}\\ \int_0^{\infty}t^{s-1}K_{\nu}(t)^2\,dt&=\frac{\sqrt{\pi}\Gamma\left(\frac s2\right)\Gamma\left(\frac{s}2+\nu\right)\Gamma\left(\frac s2-\nu\right)}{4\Gamma\left(\frac{s+1}2\right)} \end{align}
\begin{align}
F(s)&=\int_0^{\infty}t^{s-1}f(t)\,dt\\
G(s)&=\int_0^{\infty}t^{s-1}g(t)\,dt
\end{align}
とするとき,
\begin{align}
\int_0^{\infty}tf(t)g(t)\,dt&=\frac 1{\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}F(2u)G(2-2u)\,du
\end{align}
が成り立つ.
ここで, 補題2は今回用いる形に特殊化したものである.
\begin{align} \int_0^{\infty}tI_{\nu}(t)K_{\nu}(t)^3\,dt&=\frac{\pi\left(\psi(\frac 12)-\psi\left(\frac 12-\nu\right)\right)}{8\sin\pi\nu}\\ \int_0^{\infty}tK_{\nu}(t)^4\,dt&=\frac{\pi^2(2\psi\left(\frac 12\right)-\psi\left(\frac 12+\nu\right)-\psi\left(\frac 12-\nu\right))}{16\sin^2\pi\nu} \end{align}
$f(t)=K_{\nu}(t)^2, g(t)=I_{\nu}(t)K_{\nu}(t)$として補題1, 補題2を用いると
\begin{align}
&\int_0^{\infty}tI_{\nu}(t)K_{\nu}(t)^3\,dt\\
&=\frac 1{2\pi i}\frac 18\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{\Gamma(u)\Gamma(u+\nu)\Gamma(u-\nu)}{\Gamma\left(\frac 12+u\right)}\frac{\Gamma(1-u)\Gamma(1-u+\nu)\Gamma\left(-\frac 12+u\right)}{\Gamma(u+\nu)}\,du\\
&=\frac 1{2\pi i}\frac{\pi^2}8\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{1}{u-\frac 12}\frac{1}{\sin\pi u\sin\pi(u-\nu)}\,du\\
&=\frac{\pi}8\frac 1{\sin\pi\nu}\sum_{0\leq n}\left(\frac 1{n+\frac 12-\nu}-\frac 1{n+\frac 12}\right)\\
&=\frac{\pi\left(\psi(\frac 12)-\psi\left(\frac 12-\nu\right)\right)}{8\sin\pi\nu}
\end{align}
と示される. ここで, 3つ目の等号はMellin-Barnes積分を積分路の右側の極に関して展開することによって得られる. 次に, $f(t)=g(t)=K_{\nu}(t)^2$として補題1, 補題2を用いると
\begin{align}
&\int_0^{\infty}tK_{\nu}(t)^4\,dt\\
&=\frac 1{2\pi i}\frac{\pi}8\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{\Gamma(u)\Gamma(u+\nu)\Gamma(u-\nu)\Gamma(1-u)\Gamma(1-u+\nu)\Gamma(1-u-\nu)}{\Gamma\left(\frac 12+u\right)\Gamma\left(\frac 32-u\right)}\,du\\
&=-\frac 1{2\pi i}\frac{\pi^3}8\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{\cos\pi u}{\left(u-\frac 12\right)\sin\pi u\sin\pi(u+\nu)\sin\pi(u-\nu)}\,du\\
&=-\frac{\pi^2}{8}\sum_{0\leq n}\left(\frac 1{\sin^2\pi\nu}\frac 1{n+\frac 12}-\frac{\cos\pi\nu}{\sin\pi\nu\sin 2\pi\nu}\frac 1{n+\nu+\frac 12}-\frac{\cos\pi\nu}{\sin\pi\nu\sin 2\pi\nu}\frac 1{n-\nu+\frac 12}\right)\\
&=\frac{\pi^2}{16\sin^2\pi\nu}\sum_{0\leq n}\left(\frac 1{n+\frac 12-\nu}+\frac 1{n+\frac 12+\nu}-\frac 2{n+\frac 12}\right)\\
&=\frac{\pi^2(2\psi\left(\frac 12\right)-\psi\left(\frac 12+\nu\right)-\psi\left(\frac 12-\nu\right))}{16\sin^2\pi\nu}
\end{align}
を得る. ここで, 3つ目の等号はMellin-Barnes積分を積分路の右側の極に関して展開することによって得られる.
特に$\nu\to 0$とすると以下の特殊値を得る.
\begin{align}
\int_0^{\infty}tI_0(t)K_0(t)^3\,dt&=\frac{\pi^2}{16}\\
\int_0^{\infty}tK_0(t)^4\,dt&=\frac 78\zeta(3)
\end{align}
