大阪

2016 阪大理系数学の難易度

　あくまでも個人の体感ですが，$3$完$1$半は狙えるのではと思いました．$4$は本当に難しいですが，それ以外はきっちり取っていきたいです．

4(1)の個人的解答

　どこから手をつけたら良いのかはさっぱりです．一般の$n$について愚直に証明するのは難しいので，手間がかかることを承知で数学的帰納法を狙います．
　$c_n=2^NA_nS_n$とします．$n=1$のときは明らかです．$n=k$のときに成立を仮定します．ここで直面する問題が$A_{k+1}$です．$k$が奇数ならば$A_{k+1}=A_k$，$k$が偶数ならば$A_{k+1}=(k+1)A_k$となるので，まずは偶奇で場合分けを実行します．

$k$が奇数のとき

$A_{k+1}=A_k$より，
$$\begin{align*} A_{k+1}S_{k+1}=A_kS_k+\dfrac{A_k}{k+1} \end{align*} $$
$N_m=[\log_2n]$とします．

$k+1$が$2$の冪で表されるとき

$N_{k+1}=N_k+1,k+1=2^{N_{k+1}}$となります．
よって，$$c_{k+1}=2c_k+A_k$$
これは奇数です．

$k+1$が$2$の冪で表されないとき

$N_{k+1}=N_k$です．
$k+1$は$2^{N_k}A_k$の約数なので，$$\dfrac{2^{N_k}A_k}{k+1}=2l\;(l\in \mathbb{N})$$
となるので
$$c_{k+1}=c_k+2l$$
これは奇数です．

$k$が偶数のとき

$A_{k+1}=(k+1)A_k,N_{k+1}=N_k$です．よって，
$c_{k+1}=(k+1)c_k+2^{N_k}A_k$
これは奇数です．

$k+1$でも上手くいったので，数学的帰納法成立です．