0

大阪

57
0
$$$$

2016 阪大理系数学の難易度

 あくまでも個人の体感ですが,$3$$1$半は狙えるのではと思いました.$4$は本当に難しいですが,それ以外はきっちり取っていきたいです.

4(1)の個人的解答

 どこから手をつけたら良いのかはさっぱりです.一般の$n$について愚直に証明するのは難しいので,手間がかかることを承知で数学的帰納法を狙います.
 $c_n=2^NA_nS_n$とします.$n=1$のときは明らかです.$n=k$のときに成立を仮定します.ここで直面する問題が$A_{k+1}$です.$k$が奇数ならば$A_{k+1}=A_k$$k$が偶数ならば$A_{k+1}=(k+1)A_k$となるので,まずは偶奇で場合分けを実行します.

$k$が奇数のとき

$A_{k+1}=A_k$より,
$$\begin{align*} A_{k+1}S_{k+1}=A_kS_k+\dfrac{A_k}{k+1} \end{align*} $$
$N_m=[\log_2n]$とします.

$k+1$$2$の冪で表されるとき

$N_{k+1}=N_k+1,k+1=2^{N_{k+1}}$となります.
よって,$$c_{k+1}=2c_k+A_k$$
これは奇数です.

$k+1$$2$の冪で表されないとき

$N_{k+1}=N_k$です.
$k+1$$2^{N_k}A_k$の約数なので,$$\dfrac{2^{N_k}A_k}{k+1}=2l\;(l\in \mathbb{N})$$
となるので
$$c_{k+1}=c_k+2l$$
これは奇数です.

$k$が偶数のとき

$A_{k+1}=(k+1)A_k,N_{k+1}=N_k$です.よって,
$c_{k+1}=(k+1)c_k+2^{N_k}A_k$
これは奇数です.

$k+1$でも上手くいったので,数学的帰納法成立です.

投稿日:21
OptHub AI Competition

この記事を高評価した人

高評価したユーザはいません

この記事に送られたバッジ

バッジはありません。

投稿者

pqr_mgh
6
2694

コメント

他の人のコメント

コメントはありません。
読み込み中...
読み込み中