コラッツ予想を肯定する証明

コラッツ予想を肯定する証明

1     コラッツ演算による一般式の定義

コラッツ演算を次のように定義する。
$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} a_m^o:= \frac{a_{m}^e}{2^{n_m}}\cdots\cdots (a_{m}^eが定義されているとき)n_m : =max \lbrace n_m:\frac{a_{m}^e} {2^{n_m}} \in N \rbrace \\ {a_{m+1}^e:= 3a_{m}^o+1 (a_{m}^o:a_{m}^o \gt 1)} \end{array} \right. \end{eqnarray} $$

つまり、偶数演算が要求された場合、偶数演算は、一度要求されたら奇数になるまで$n_m $回実行されます。このように定義すると、奇数 と偶数 に分けることができる。 ただし、偶数演算の初回は $n_1$、以下$n_2,n_3, \cdots$ などとする。
この定義に基づいて、奇数演算の回数 $m$ と偶数演算の回数$n_m$を変数とし一般式を定義する。与えられた最初の奇数自然数を$a_1^o$とし、偶数自然数をを$a_1^e$とする。Collatz m 回で指定された奇数演算を繰り返した結果は、$a_m^o$ と$a_m^e$になります。又、奇数演算が出来るのは、$a_{m}^o:a_{m}^o \gt 1 $とし、１の奇数演算を禁止し、収束条件とする。

初めに与えられた自然数が偶数の場合

$$a_1^o= \frac{a_1^e}{2^{n_1}} $$

ここで ${n_1}$ は変数で ${n_1} \geq 1$ で、奇数になるまで 2 で偶数演算されます。次に奇数演算が行われ、

$a_2^e= 3a_1^o+1$

結果として、
$$a_2^e= \frac{3}{2^{n_1}}a_1^e+1 $$

その後、コラッツ演算が繰り返えされ、一般項は、

 $a_{m}^e=(3^{m-1}a_1^e+3^{m-2}k_1+3^{m-3}k_2+ \cdots+3^1k_{m-2}+k_{m-1})/k_{m-1}$       （１）

但し、
    $k_m=2^{ \sum_{i=1}^{m}n_i} $
とする。 

２ Collatz 操作によって生成される循環シーケンスの有無

$a_{2}^e = a_{1}^e $とすると、

$a_{1}^e=(3^{1}a_1^e+3^{0}k_1)/ k_1$

$ k_1a_{1}^e=(3^{1}a_1^e+3^{0}k_1)$

$(k_1-3) a_{1}^e=k_1$

偶数割る奇数であるから、

$$ a_{1}^e= \frac{k_1}{(k_1-3)}=2n $$

で、$k_1 \lt 3 $では右辺が負数になるので$a_{2}^e = a_{1}^e $とする仮定は背理し、$a_{2}^e \neq a_{1}^e $で有るから、$k_1 \gt 3 $を考えれば良い。。

$k_1 = 4 $の場合、

$$ a_{1}^e= \frac{4}{(4-3)}=4$$

で有るから、整除されるが、奇数演算が行われる前に$a_{1}^e$は１に収束するから除外されている。依って、$k_1 \geq ８$の場合のみ次の計算に移行できる。

$k_1 \geq ８$の場合、

$$ a_{1}^e= \frac{k_1}{(k_1-3)}=2n $$

$$ k_1=2n(k_1-3) $$

$$ 3 \times 2n=(2n-1)k_1 $$

$$ \frac{3 \times 2n}{(2n-1)} =k_1 \geq 8 $$

$$ 3 \times 2n \geq 8(2n-1)$$

$$ 3 \times 2n \geq 16n-8$$

$$ 8\geq 16n-3 \times 2n=10n$$

$$ \frac{8}{10} = 0.8 \geq n$$

で有るので、$0.8\geq n$で有るが、$n \in \mathbb{N} $ で無ければならないので、

整除出来ず$a_{2}^e = a_{1}^e $とする仮定は背理し$a_{2}^e \neq a_{1}^e $で有る。依って、

$$ a_{1}^e= \frac{k_1}{(k_1-3)} \notin \mathbb{N} \Rightarrow a_{2}^e \neq a_{1}^e$$

で有る。

$a_{2}^e \neq a_{1}^e $と仮定すると、

$a_{1}^e \neq (3^{1}a_1^e+3^{1}k_1)/ k_1$

で有る。

$$a_{1}^e\neq \frac{k_1}{(k_1-3^{1})} $$

で有るから、

$$a_{1}^e\neq \frac{k_1}{(k_1-3^{1})} \notin \mathbb{N}$$

で有るなら、恒等的に成り立つ。

$a_{2}^e = a_{1}^e $で計算したように、

$$ \frac{k_1}{(k_1-3^{1})} \notin \mathbb{N}$$

は、仮定の条件に関係なくコラッツ演算に従った計算による結果でも有るので、$a_{2}^e \neq a_{1}^e $とする仮定は肯定される。

よって、

$$a_{2}^e \neq a_{1}^e \Rightarrow \frac{k_1}{(k_1-3)} = a_{1}^e　\notin \mathbb{N} $$

で有る。

$a_{3}^e = a_{1}^e $とすると、$a_{2}^e = a_{1}^e $と同様に計算される。又、$k_2-3^{2} \lt 0 $の場合、

$$ a_{1}^e= \frac{3k_1+k_2}{(k_2-3^2)} \lt 0$$で有るので、$a_{3}^e = a_{1}^e $とする仮定が背理し、$a_{3}^e \neq a_{1}^e $で有る。
$k_2-3^{2} \gt 0 $の場合、
$$ a_{1}^e= \frac{3k_1+k_2}{(k_2-3^2)}$$
は、$a_{2}^e \neq a_{1}^e $の続きとして、計算されるが同じ$a_{1}^e$で計算されるので有るから、
$$ a_{1}^e= \frac{3k_1+k_2}{(k_2-3^2)}=a_{1}^e= \frac{k_1}{(k_1-3)} \notin \mathbb{N} $$

である。よって、

$$ \frac{3k_1+k_2}{(k_2-3^2)} \notin \mathbb{N}$$

で有るので、自然数に整除出来ず、$a_{3}^e = a_{1}^e $とする仮定は背理し$a_{3}^e \neq a_{1}^e $で有る。よって、

$$a_{2}^e \neq a_{1}^e 　 \Longrightarrow 　a_{3}^e \neq a_{1}^e $$
で有る。

$ a_{m-1}^e \neq a_{1}^e$の場合、$k_{m-2}-3^{m-2} \gt 0$と仮定すると、

$a_{1}^e \neq (3^{m-2}a_1^e+3^{m-3}k_1+3^{m-4 }k_2+ \cdots+3^1k_{m-3}+k_{m-2})/k_{m-2}$

で、

$$ a_{1}^e \neq \frac{3^{m-2}a_1^e+3^{m-3}k_1+3^{m-4 }k_2+ \cdots+3^1k_{m-3}+k_{m-2}}{(k_{m-2}-3^{m-2})}\notin \mathbb{N} $$

と仮定すると、整除出来ないから、

$ a_{1}^e \notin \mathbb{N} $で仮定は肯定される。

又、$k_{m-2}-3^{m-2} \lt 0 $の場合、$ a_{m-1}^e \neq a_{1}^e$の仮定は肯定される。

$ a_{m}^e=a_{1}^e$の場合、

$$a_{1}^e= \frac{3^{m-1}k_1+3^{m-2}k_2+ \cdots+3^1k_{m-2}+k_{m-1}}{(k_{m-1}-3^{m-1})} $$

は、$ a_{m-1}^e \neq a_{1}^e$と同じ$a_{1}^e $の続きとして計算されるから、

$$a_{1}^e= \frac{3^{m-1}k_1+3^{m-2}k_2+ \cdots+3^1k_{m-2}+k_{m-1}}{(k_{m-1}-3^{m-1})} $$
$$=a_{1}^e \notin \mathbb{N} $$

で有るから、自然数に整除出来ず、

$$a_{1}^e= \frac{3^{m-1}k_1+3^{m-2}k_2+ \cdots+3^1k_{m-2}+k_{m-1}}{(k_{m-1}-3^{m-1})} \notin \mathbb{N} $$

で有るので、$ a_{m}^e=a_{1}^e$とする仮定は背理し$a_{m}^e \neq a_{1}^e $で有る。

よって、$ a_{m-1}^e \neq a_{1}^e \Longrightarrow a_{m}^e \neq a_{1}^e$で有るから、数学的帰納法により循環数列は無い。

３　発散の有無

1. 式から、
   $$ a_{m}^e= (\frac{3^{m-1}a_1^e}{k_{m-1}}+\frac{3^{m-2}k_1}{k_{m-1}} + \cdots+ \frac{3^1k_{m-2}}{k_{m-1}} + 1) $$

$$ \lim_{m \to \infty} a_{m}^e= \lim_{m \to \infty} (\frac{3^{m-1}a_1^e}{k_{m-1}}+\frac{3^{m-2}k_1}{k_{m-1}} + \cdots+ \frac{3^1k_{m-2}}{k_{m-1}} + 1) $$

$$ \lim_{m \to \infty} (\frac{3^{m-1}a_1^e}{k_{m-1}}+\frac{3^{m-2}k_1}{k_{m-1}} + \cdots+ \frac{3^1k_{m-2}}{k_{m-1}} )= \alpha $$

に収束すると仮定すると、

$$ \lim_{m \to \infty} a_{m}^e= \lim_{m \to \infty} (\frac{3^{m-1}a_1^e}{k_{m-1}}+\frac{3^{m-2}k_1}{k_{m-1}} + \cdots+ \frac{3^1k_{m-2}}{k_{m-1}} ) +\lim_{m \to \infty} 1 $$

となる。

＊＊＊＊以下の記事は間違いを含んでいます。＊＊＊＊＊＊＊

３ー１　分割項の発散の有無

$$ \lim_{m \to \infty} (\frac{3^{m-1}a_1^e}{k_{m-1}}+\frac{3^{m-2}k_1}{k_{m-1}} + \cdots+ \frac{3^1k_{m-2}}{k_{m-1}} )$$

$$= \lim_{m \to \infty} (\frac{3^{m-1}}{k_{m-1}}a_1^e+\frac{3^{m-2}}{k_{m-1}}k_1 + \cdots+ \frac{3}{k_{m-1}}k_{m-2} )$$

３ー１ー１　$k_{m-1}=4^{m-1} $の場合

右辺第一項は、$k_{m-1}=4^{m-1} $とすると、$a_1^e$は最初に与えられる自然数なので有限の値であるから、

$$\lim_{m \to \infty} (\frac{3^{m-1}}{k_{m-1}}a_1^e)=\lim_{m \to \infty} (\frac{3^{m-1}}{4^{m-1}}a_1^e)=0$$

右辺第二項は、

$$\lim_{m \to \infty} (\frac{3^{m-2}}{k_{m-1}}k_1 )=\lim_{m \to \infty} (\frac{3^{m-2}}{4^{m-1}}k_1)=\lim_{m \to \infty} ((\frac{3}{4})^{m-2} \frac{k_1}{4})$$

$a_1^e$は最初に与えられる自然数なので有限の値であから、$k_1 $も有限である。

$$\lim_{m \to \infty} (\frac{3^{m-2}}{k_{m-1}}k_1 )=0 $$

となる。　第三項は、
$$\lim_{m \to \infty} (\frac{3^{m-3}}{k_{m-1}}k_2 )=\lim_{m \to \infty} (\frac{3^{m-3}}{4^{m-1}}k_2)=\lim_{m \to \infty} ((\frac{3}{4})^{m-3} \frac{k_2}{4^2})$$

$a_1^e$は最初に与えられる自然数なので有限の値であるから、$k_2 $も有限である。依って、

$$\lim_{m \to \infty} (\frac{3^{m-3}}{k_{m-1}}k_2 )=0 \times n=0 $$

右辺第三項以降も０になる。

最終項は、

$$ \lim_{m \to \infty} ( \frac{3^1k_{m-2}}{k_{m-1}} )=\lim_{m \to \infty} ( \frac{3^1k_{m-2}}{4^{m-1}} )=\lim_{m \to \infty} ( \frac{3}{4} \frac{k_{m-2}}{4^{m-2}} )$$

$k_{m-1}\geq 2 \times k_{m-2} $ で有るから、$k_{m-1}=4^{m-1}$としたから、$k_{m-1}=4^{m-1} \geq 2 \times k_{m-2}$ 依って、$4^{m-1}/2 \geq k_{m-2}$ で有るから、

$$\frac{k_{m-2}}{4^{m-2}} \leq \frac{ 4^{m-1}/2 }{4^{m-2}}= \frac{1}{2}$$

で有るから、

$$\lim_{m \to \infty} ( \frac{3}{4} \frac{k_{m-2}}{4^{m-2}} ) \leq \lim_{m \to \infty} ( \frac{3}{4} \frac{1}{2} )= \frac{3}{8} \lt \infty$$

依って、$k_{m-1}=4^{m-1} $とする場合、

$$ \lim_{m \to \infty} a_{m}^e \lt \infty$$
で,
$ a_{m}^e $ は有限である。又、$k_{m-1} \gt 4^{m-1} $とする場合は分母がより大きくなるので、同様に$ a_{m}^e $ は有限である。

３－１－２ $2^{m-1} \leq k_{m-1} $の場合

$2^{m-1} \leq k_{m-1} \lt 4^{m-1} $の場合を検討する。
しかし、$2^{m-1} = k_{m-1}$の場合、全部の割り算が１回で無ければならないが、$a_m^e=2(2m+1)$と仮定すると、

$$a_m^e=2(2m+1) \Rightarrow a_{m+1}^e=3(2m+1)+1=6m+3+1=6m+4$$

$$ a_{m+2}^e=3(3m+2)+1=9m+6 +1=9m+7 $$

$$\frac{9m+7}{2} =8,112.5,17,21.5, \cdots $$

$m=2j$ で、

$$a_{m+2}^e =\frac{9m+7}{2} =\frac{18j+7}{2} \notin \mathbb{N} $$

となり、$m \geq 3$ で $a_m^e=2(2m+1)$　とする仮定は背理し、$a_m^e \neq 2(2m+1)$ で有るので、４回の偶数演算では、必ず１回の$2^i:i \geq2 $の演算が行われるから、$2^{m-1} \lt k_{m-1} $で有る。

$k_{m-1}= 4^{m-1-j}$ とすると、$j$ は、

$k_{m-1}= 4^{m-1-j}=2^{2m-2-2j} \gt 2^{m-1}$ で有るので、$2m-2-2j \gt m-1 $ となり、$m-1 \gt 2j $ で有るから、$(m-1)/2 \gt j $ で無ければならない

$$ \lim_{m \to \infty} (\frac{3^{m-1}a_1^e}{k_{m-1}}+\frac{3^{m-2}k_1}{k_{m-1}} + \cdots+ \frac{3^1k_{m-2}}{k_{m-1}} )$$

$$= \lim_{m \to \infty} (\frac{3^{m-1}}{4^{m-1-j}}a_1^e+\frac{3^{m-2}}{4^{m-1-j}}k_1 + \cdots+ \frac{3}{4^{m-1-j}}k_{m-2} )$$

$$= \lim_{m \to \infty} (\frac{3^{m-1}}{4^{m-1}} \frac{1}{4^{-j}} a_1^e+\frac{3^{m-2}}{4^{m-2}} \frac{1}{4^{1-j}} k_1 + \cdots+ \frac{3}{4} \frac{1}{4^{m-2-j}} k_{m-2} )$$

$$= \lim_{m \to \infty} ((\frac{3}{4})^{m-1} 4^j a_1^e+(\frac{3}{4})^{m-2} 4^{j-1} k_1 + \cdots+ \frac{3}{4} {4^{-m+2+j}} k_{m-2} )$$

右辺第一項は、$a_1^e$は最初に与えられる自然数なので有限の値で有るから、

$$\lim_{m \to \infty} ((\frac{3}{4})^{m-1} 4^j a_1^e)=\lim_{m \to \infty} ((\frac{3}{4})^{m-1} 4^j a_1^e)$$

で有る。$4^j \lt 4^{ \frac{(m-2)}{2} }$で有るから、

$$\lim_{m \to \infty} (4^j a_1^e) \lt \infty$$

依って、

$$\lim_{m \to \infty} ((\frac{3}{4})^{m-1} 4^j a_1^e)=0$$

で有る。

となり、右辺第二項は、

$$\lim_{m \to \infty} ((\frac{3}{4} )^{m-2}k_14^{j-1}) $$

$$\lim_{m \to \infty} 4^{j-1} \lt \lim_{m \to \infty} 4^{(m-1)/2}=\infty$$

依って、

$$\lim_{m \to \infty} (k_14^{j-1}) \lt \infty $$

で有るので、

$$\lim_{m \to \infty} ((\frac{3}{4} )^{m-2}k_14^{j-1}) =0$$

となり、右辺第二項も０となる。

右辺第三項は、

$$\lim_{m \to \infty} (\frac{3^{m-3}}{k_{m-1}}k_2 )=\lim_{m \to \infty} ((\frac{3}{4} )^{m-3}k_24^{j-1}) $$

$$\lim_{m \to \infty} 4^{j-1} \lt \lim_{m \to \infty} 4^{(m-1)/2}=\infty$$

依って、

$$\lim_{m \to \infty} (k_24^{j-1}) \lt \infty $$

で有るので、

$$\lim_{m \to \infty} ((\frac{3}{4} )^{m-2}k_24^{j-1}) =0$$

となり、右辺第三項も０となる。

$ k_{m-2} $ は $a_{m-2}^e$ によって決められる値であるから、$a_{m}^e$ を導くことが出来たから $a_{m-2}^e \lt \infty $ で有るので、
$$ \lim_{m \to \infty} (\frac{3^1k_{m-2}}{k_{m-1}} )= \lim_{m \to \infty} (\frac{3}{4} \frac{1}{4^{m-2-j}} k_{m-2} )= 0 $$

で有る。依って、$2^{m-1} \lt k_{m-1} $の場合、

$$ \lim_{m \to \infty} (\frac{3^{m-1}a_1^e}{k_{m-1}}+\frac{3^{m-2}k_1}{k_{m-1}} + \cdots+ \frac{3^1k_{m-2}}{k_{m-1}} )=0$$

となり、

$$ \lim_{m \to \infty} (\frac{3^{m-1}a_1^e}{k_{m-1}}+\frac{3^{m-2}k_1}{k_{m-1}} + \cdots+ \frac{3^1k_{m-2}}{k_{m-1}} + 1) =1$$

となり、１に収束し,

$$ \lim_{m \to \infty} a_{m}^e \lt \infty$$

となり、$a_m^e$ は有限である。

３－１－３　結果

$k_{m-1}$ の全領域で、

$$ \lim_{m \to \infty} a_{m}^e \lt \infty$$

で有るので $a_m^e $ は有限である。

４　Cllatz 演算の終了

２節(循環なし)と３節(有限)の結果からの鳩ノ巣原理によりCollatz演算は停止しなければならない、よって1に収束するから、コラッツ予想は肯定される。