教えてください（岩波基礎数学　集合）

121

この著者は初心者として投稿しています。間違いや考慮が足りていない点が含まれている可能性が高いです。見つけたらコメント欄で優しく指摘してあげましょう。

岩波講座基礎数学集合p117の補題6.1の証明について理解できない部分があります．補題とその証明は次のようになっています．

$α$ を順序数， $s \subset α$ とし， $s$ を整列集合と考える．ここで $β = ord s$ とすれば $β \subset α$ .

$f : s \to β$ を $s$ から $β$ の上への順序同型写像とする． $s = ϕ$ のときは明らかなので， $s \neq ϕ$ の場合を考える． $s$ の元 $x$ ， $β$ の元 $f (x)$ はともに順序数と考えられるから， $f (x) \subset x$ もしくは $x \subset f (x)$ が成り立つ．もし $f (x) \subset x$ が任意の $x \in s$ について成り立つなら， $f [s] \subset s$ であるから $β = f [s] \subset s \subset α$ より成立．いま $c = {x \in s | x ⫋ f (x)}$ として矛盾を導く． $x_{0} = min c$ とおくと， $x ⫋ x_{0}$ なる $s$ の元 $x$ に対しては $f (x) \subset x ⫋ x_{0}$ ， $x_{0} \subset x$ なる $s$ の元 $x$ に対しては $f$ が順序を保つから $x_{0} ⫋ f (x_{0}) \subset f (x)$ となり， $x_{0} \notin f [s]$ となる．一方 $x_{0} \in f (x_{0})$ ， $f (x_{0}) \in β$ なので $x_{0} \in β$ となり矛盾．

ここでわからないのは $x_{0} \notin f [s]$ となることです。 $f [s] = ⋃_{x \in s} f (x)$ なので、 $x_{0} ⫋ f (x_{0}) \subset f (x)$ から、 $x_{0} \in f [s]$ だと思ったのですが、どの段階で誤解が生じているのでしょうか？
教えていただけると幸いです。
よろしくお願いします。