岩波講座基礎数学集合p117の補題6.1の証明について理解できない部分があります．補題とその証明は次のようになっています．
$\alpha$を順序数，$s\subset\alpha$とし，$s$を整列集合と考える．ここで$\beta=\text{ord}\;s$とすれば$\beta\subset\alpha$.
$f:s\rightarrow\beta$を$s$から$\beta$の上への順序同型写像とする．$s=\phi$のときは明らかなので，$s\neq\phi$の場合を考える．$s$の元$x$，$\beta$の元$f(x)$はともに順序数と考えられるから，$f(x)\subset x$もしくは$x\subset f(x)$が成り立つ．もし$f(x)\subset x$が任意の$x\in s$について成り立つなら，$f[s]\subset s$であるから$\beta=f[s]\subset s\subset \alpha$より成立．いま$c=\lbrace x\in s|x \subsetneqq f(x) \rbrace$として矛盾を導く．$x_0=\min c$とおくと，$x\subsetneqq x_0$なる$s$の元$x$に対しては$f(x)\subset x\subsetneqq x_0$，$x_0\subset x$なる$s$の元$x$に対しては$f$が順序を保つから$x_0\subsetneqq f(x_0)\subset f(x)$となり，$x_0 \notin f[s]$となる．一方$x_0\in f(x_0)$，$f(x_0)\in\beta$なので$x_0\in\beta$となり矛盾．
ここでわからないのは$x_0\notin f[s]$となることです。$f[s]= \bigcup_{x \in s} f(x) $なので、$x_0\subsetneqq f(x_0)\subset f(x)$から、$x_0\in f[s]$だと思ったのですが、どの段階で誤解が生じているのでしょうか？
教えていただけると幸いです。
よろしくお願いします。