2 人ババ抜きで勝敗がつくまでにかかる手数の期待値

場にカードが配られ, 一方がスートカードを $m$ ($m=25,26,27$) 枚持った状態からペアとなるカードをすべて捨てたあとでスートカードが双方ともに $n$ 枚残る場合の数を $R(m,n)$ とすると, 次のようになる.

場にカードが配られ, ペアとなるカードをすべて捨てたあとでスートカードが双方ともに $n$ 枚残る確率 $q(n)$ は次のようになる.

場にカードが配られ, ペアとなるカードをすべて捨てたあとで双方に残るスートカードの枚数の期待値は
$\displaystyle \sum_{n=0}^{13} n q(n)=\frac{5850}{901} \fallingdotseq 6.49279$

場にカードが配られ, ペアとなるカードをすべて捨てたあとでスートカードが双方ともに $n$ 枚残った状態から始めて,

1. ジョーカーを持っていないプレイヤーが先手の場合の勝敗がつくまでにかかる手数の期待値を $E_1(n)$,
2. ジョーカーを持っているプレイヤーが先手の場合の勝敗がつくまでにかかる手数の期待値を $E_2(n)$,
3. 勝敗がつくまでにかかる手数の期待値を $E(n)$

とすると, 次が成り立つ.

$\displaystyle E_1(n)=\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} n+\frac{1}{1}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\cdots + \frac{1}{n} \text{ ( }n\text{ が奇数のとき)}\\ n+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\cdots + \frac{1}{n} \text{ ( }n\text{ が偶数のとき)} \end{array} \right. \end{eqnarray}$,
$\displaystyle E_2(n)=\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} n+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\cdots + \frac{1}{n-1} \text{ ( }n\text{ が奇数のとき)}\\ n+\frac{1}{1}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\cdots + \frac{1}{n-1} \text{ ( }n\text{ が偶数のとき)} \end{array} \right. \end{eqnarray}$,
$\displaystyle E(n) = n+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}\right)$.

なお, この結果はトランプのスートカードが $14$ 枚以上ある場合でも成り立つ.
具体的には次の通り.

2 人ババ抜きで勝敗がつくまでにかかる手数の期待値は
$\displaystyle \sum_{n=0}^{13} q(n)E(n)=\frac{42359022377877221}{5475767134635315} \fallingdotseq 7.73572$