q-Mellin変換とRamanujanの和公式
区間$(0,x)$の$q$積分を
\begin{align}
\int_0^xf(t)\,d_qt:=\sum_{0\leq n}xq^nf(xq^n)
\end{align}
によって定義する. $x=q^{-n}$とすると,
\begin{align}
\int_0^{q^{-n}}f(t)\,d_qt&=\sum_{-n\leq k}q^kf(q^k)
\end{align}
となるので, $n\to\infty$として無限区間での$q$積分を
\begin{align}
\int_0^{\infty}f(t)\,d_qt&:=\sum_{k=-\infty}^{\infty}q^kf(q^k)
\end{align}
と定義する.
$q$-Mellin変換
通常のMellin変換は関数$f$に対して
\begin{align*}
F(s):=\int_0^{\infty}t^{s-1}f(t)\,dt
\end{align*}
によって定義される. この$q$類似として$q$-Mellin変換を
\begin{align*}
F_q(s):=\int_0^{\infty}t^{s-1}f(t)\,d_qt
\end{align*}
によって導入する.
Ramanujanの和公式
$q$超幾何級数におけるRamanujanの和公式は
\begin{align}
\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{(a;q)_n}{(b;q)_n}x^n&=\frac{(q,b/a,ax,q/ax;q)_{\infty}}{(b,q/a,x,b/ax;q)_{\infty}}
\end{align}
という形の和公式である. これを用いて以下のような$q$-Mellin変換が得られる.
\begin{align} \int_0^{\infty}\frac{(ax;q)_{\infty}}{(bx;q)_{\infty}}x^{s-1}\,d_qx&=\frac{(q,a/b,bq^s,q^{1-s}/b;q)_{\infty}}{(b,q/b,q^s,aq^{-s}/b;q)_{\infty}} \end{align}
Ramanujanの和公式を用いて,
\begin{align}
\int_0^{\infty}\frac{(ax;q)_{\infty}}{(bx;q)_{\infty}}x^{s-1}\,d_qx&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{(aq^n;q)_{\infty}}{(bq^n;q)_{\infty}}q^{sn}\\
&=\frac{(a;q)_{\infty}}{(b;q)_{\infty}}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{(b;q)_n}{(a;q)_n}q^{sn}\\
&=\frac{(a;q)_{\infty}}{(b;q)_{\infty}}\frac{(q,a/b,bq^s,q^{1-s}/b;q)_{\infty}}{(a,q/b,q^s,aq^{-s}/b;q)_{\infty}}\\
&=\frac{(q,a/b,bq^s,q^{1-s}/b;q)_{\infty}}{(b,q/b,q^s,aq^{-s}/b;q)_{\infty}}
\end{align}
と示される.
$a=0$とすると以下が得られる.
\begin{align*} \int_0^{\infty}\frac{x^{s-1}}{(bx;q)_{\infty}}\,d_qx&=\frac{(q,bq^s,q^{1-s}/b;q)_{\infty}}{(b,q/b,q^s;q)_{\infty}} \end{align*}
また, $a=q$とすると,
\begin{align*}
\int_0^{\infty}\frac{(xq;q)_{\infty}}{(bx;q)_{\infty}}x^{s-1}\,d_qx&=\frac{(q,bq^s;q)_{\infty}}{(b,q^s;q)_{\infty}}
\end{align*}
となる. 特に$b=0$とすると,
\begin{align}
\int_0^{\infty}(xq;q)_{\infty}x^{s-1}d_qx&=\frac{(q;q)_{\infty}}{(q^s;q)_{\infty}}
\end{align}
である. これらは本質的に$q$二項定理である. 上の定理で, $b=-1,a=-q$とすると,
\begin{align*}
\int_0^{\infty}\frac{x^{s-1}}{1+x}\,d_qx&=\frac{(q,q,-q^s,-q^{1-s};q)_{\infty}}{(-q,-q,q^s,q^{1-s};q)_{\infty}}
\end{align*}
が得られる. これはよく知られた等式
\begin{align*}
\int_0^{\infty}\frac{x^{s-1}}{1+x}\,dx&=\frac{\pi}{\sin\pi s}
\end{align*}
の$q$類似である.
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