q-Mellin変換とRamanujanの和公式

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区間 $(0, x)$ の $q$ 積分を
$\begin{array}{r} \int_{0}^{x} f (t) d_{q} t := \sum_{0 \leq n} x q^{n} f (x q^{n}) \end{array}$
によって定義する. $x = q^{- n}$ とすると,
$\begin{aligned} \int_{0}^{q^{- n}} f (t) d_{q} t & = \sum_{- n \leq k} q^{k} f (q^{k}) \end{aligned}$
となるので, $n \to \infty$ として無限区間での $q$ 積分を
$\begin{aligned} \int_{0}^{\infty} f (t) d_{q} t & := \sum_{k = - \infty}^{\infty} q^{k} f (q^{k}) \end{aligned}$
と定義する.

$q$ -Mellin変換

通常のMellin変換は関数 $f$ に対して
$\begin{array}{r} F (s) := \int_{0}^{\infty} t^{s - 1} f (t) d t \end{array}$
によって定義される. この $q$ 類似として $q$ -Mellin変換を
$\begin{array}{r} F_{q} (s) := \int_{0}^{\infty} t^{s - 1} f (t) d_{q} t \end{array}$
によって導入する.

Ramanujanの和公式

$q$ 超幾何級数におけるRamanujanの和公式は
$\begin{aligned} \sum_{n = - \infty}^{\infty} \frac{(a; q)_{n}}{(b; q)_{n}} x^{n} & = \frac{(q, b / a, a x, q / a x; q)_{\infty}}{(b, q / a, x, b / a x; q)_{\infty}} \end{aligned}$
という形の和公式である. これを用いて以下のような $q$ -Mellin変換が得られる.

$\begin{aligned} \int_{0}^{\infty} \frac{(a x; q)_{\infty}}{(b x; q)_{\infty}} x^{s - 1} d_{q} x & = \frac{(q, a / b, b q^{s}, q^{1 - s} / b; q)_{\infty}}{(b, q / b, q^{s}, a q^{- s} / b; q)_{\infty}} \end{aligned}$

Ramanujanの和公式を用いて,
$\begin{aligned} \int_{0}^{\infty} \frac{(a x; q)_{\infty}}{(b x; q)_{\infty}} x^{s - 1} d_{q} x & = \sum_{n = - \infty}^{\infty} \frac{(a q^{n}; q)_{\infty}}{(b q^{n}; q)_{\infty}} q^{s n} \\ = \frac{(a; q)_{\infty}}{(b; q)_{\infty}} \sum_{n = - \infty}^{\infty} \frac{(b; q)_{n}}{(a; q)_{n}} q^{s n} \\ = \frac{(a; q)_{\infty}}{(b; q)_{\infty}} \frac{(q, a / b, b q^{s}, q^{1 - s} / b; q)_{\infty}}{(a, q / b, q^{s}, a q^{- s} / b; q)_{\infty}} \\ = \frac{(q, a / b, b q^{s}, q^{1 - s} / b; q)_{\infty}}{(b, q / b, q^{s}, a q^{- s} / b; q)_{\infty}} \end{aligned}$
と示される.

$a = 0$ とすると以下が得られる.

$\begin{aligned} \int_{0}^{\infty} \frac{x^{s - 1}}{(b x; q)_{\infty}} d_{q} x & = \frac{(q, b q^{s}, q^{1 - s} / b; q)_{\infty}}{(b, q / b, q^{s}; q)_{\infty}} \end{aligned}$

また, $a = q$ とすると,
$\begin{aligned} \int_{0}^{\infty} \frac{(x q; q)_{\infty}}{(b x; q)_{\infty}} x^{s - 1} d_{q} x & = \frac{(q, b q^{s}; q)_{\infty}}{(b, q^{s}; q)_{\infty}} \end{aligned}$
となる. 特に $b = 0$ とすると,
$\begin{aligned} \int_{0}^{\infty} (x q; q)_{\infty} x^{s - 1} d_{q} x & = \frac{(q; q)_{\infty}}{(q^{s}; q)_{\infty}} \end{aligned}$
である. これらは本質的に $q$ 二項定理である. 上の定理で, $b = - 1, a = - q$ とすると,

$\begin{aligned} \int_{0}^{\infty} \frac{x^{s - 1}}{1 + x} d_{q} x & = \frac{(q, q, - q^{s}, - q^{1 - s}; q)_{\infty}}{(- q, - q, q^{s}, q^{1 - s}; q)_{\infty}} \end{aligned}$
が得られる. これはよく知られた等式