個人的未解決問題

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個人的未解決問題

$a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0$
が $0$ でない異なる $3$ つの整数解を持ち,
$b x^{2} + c x + d = 0$
が $0$ でない異なる $2$ つの整数解を持つような $(a, b, c, d)$ の組を全て求めよ.

$(a, b, c, d) = (1, - 8, - 144, 1152)$ のとき
$x^{3} - 8 x^{2} - 144 x + 1152 = (x - 12) (x + 12) (x - 8)$
$- 8 x^{2} - 144 x + 1152 = - 8 (x - 6) (x + 24)$
となり条件を満たす.

条件を満たす時
$a x^{3} + b x^{2} + c x + d = a (x - p) (x - q) (x - r)$
とすると
$p = - q$ となる組が必ず $1$ 組できる
上の例もこれを満たす.

いろいろ実験してたらこの予想の条件を満たすものしか見つけられませんでした。何か進捗があったり先行研究を知っている方がいたら教えてください。

投稿日：2024年1月26日

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れもんのいれもん

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