薄い圏の考察(11). 薄化関手による剰余圏。

局所小圏${\mathcal C}$から薄い圏C(B,g)に、関手Tが定義されているとします。

このとき${\mathcal C}$における任意の射f:i ${ \to }$ jと射f':k ${ \to }$ lに対して
関係fTf'をT(f)=T(f')で定めます。この関係は

1. ${\mathcal C}$が空でないならば、任意のf${ \in }$hom(${\mathcal C}$)に対して、fTf　が成り立つ。
2. 任意のf,f'${ \in }$hom(${\mathcal C}$)に対して 　fTf' ならば f'Tf が成り立つ。
3. 任意の f,f',f"${ \in }$hom(${\mathcal C}$)に対して 　fTf' かつf'Tf" ならば fTf" が成り立つ。

という同値関係の条件を満たします。
（証明）1.T(f)=T(f)より。2.T(f)=T(f')ならばT(f')=T(f)より。3.T(f)=T(f')かつT(f')=T(f")ならばT(f)=T(f")より。（証明終）

上の同値関係に基づいてhom(${\mathcal C}$)において射$f:i\to j$を代表元とする同値類を
[f]$^T_{ij}$:={f'${ \in }$hom(${\mathcal C}$)|T(f)=T(f')}で定めます。
　ここで注意すべきは、$f:i\to j,f':i\to j$に対して$T(f)=g_{F(i)F(j)}=T(f')$なので、各i,j${ \in }$Ob(${\mathcal C}$)に対して$[f]^T_{ij}$は射$f:i\to j$が存在するとしたら、その射の取り方によらず一意に定まる集合だということです。$hom（i,j）\subset[f]^T_{ij}$が成り立ちます。

また$[f_1]^T_{ij}$と$[f_2]^T_{jk}$が存在するならば$[f_2\circ f_1]^T_{ik}$は必ず存在して$ [f_2]^T_{jk}\circ [f_1]^T_{ij} :=[f_2\circ f_1]^T_{ik}$ という演算が定義できます。
（証明）
まず$[f_1]^T_{ij}$と$[f_2]^T_{jk}$が存在するならば、$f_1:i\to j$と$f_2:j\to k$の合成として$f_2\circ f_1:i\to k$が定義できるので$[f_2\circ f_1]^T_{ik}$は必ず存在。

（演算の正当性）$f_1,f'_1:i\to j$と$f_2,f'_2:j\to k$を取ります。このとき$f_2\circ f_1,f'_2\circ f'_1:i\to k$が定義でき、かつ$T(f_1)=T(f'_1)$かつ$T(f_2)=T(f'_2)$とTの関手性より$T(f_2\circ f_1)=T(f_2)\circ T(f_1)=T(f'_2)\circ T(f'_1)=T(f'_2\circ f'_1)$となる。よって$[f_1]^T_{ij}=[f'_1]^T_{ij}$ かつ$[f_2]^T_{jk}=[f'_2]^T_{jk}$ならば$[f _2\circ f_1]^T_{ik}=[f'_2\circ f'_1]^T_{ik}$が成立。これは演算の正当性を示す。（証明終）

また${\mathcal C}$の任意の対象iに対して[$id_i$]$^T$:={f${ \in }$hom(${\mathcal C}$)|T(f)=T($id_i$)}は恒等射$id_i$の存在より空でない集合として存在します。

上記の事実を「薄い圏の考察(1)」の定義１に適用すると、圏${\mathcal C}$に対して薄い圏C(Ob(${\mathcal C}$),[f]$^T$)が定義できます。この圏を${\mathcal C}$/Tと書きます。

以下のことが言えます。

命題。関手$ T:{\mathcal C} \to C(B,g)$ が充満関手ならば、${\mathcal C}$/TとT(${\mathcal C}$)は圏同値。
（証明）
関手$ \bar T:{\mathcal C}/T \to T({\mathcal C})$
を$ \bar T(i):=T(i)$ ,$\bar T([f]^T_{ij}):=T(f)$で定義します。Tが充満関手なので、任意の$g_{T(i)T(j)}(i,j\in Ob({\mathcal C}))$に対して$f:i\to j$は存在して$\bar T([f]^T_{ij})$が定義できます。これは$\bar T$が充満関手であることも示しています。
$ \bar T$は対象について全射なので、本質的に全射な関手です。${\mathcal C}$/Tは薄い圏なので「薄い圏の考察(３)」の命題３の１より$ \bar T$は忠実関手です。$ \bar T$が本質的に全射な忠実充満関手なので${\mathcal C}$/TとT(${\mathcal C}$)は圏同値となります。（証明終）

命題。関手$ T:{\mathcal C} \to C(B,g)$ が本質的に全射かつ充満関手ならば、${\mathcal C}$/TとC(B,g)は圏同値。
（証明）関手$ \bar T:{\mathcal C}/T \to C(B,g)$
を$ \bar T(i):=T(i)$ ,$\bar T([f]^T_{ij}):=T(f)$で定義します。Tが充満関手なので、任意の$g_{T(i)T(j)}(i,j\in Ob({\mathcal C}))$に対して$f:i\to j$は存在して$\bar T([f]^T_{ij})$が定義できます。
$ T:{\mathcal C} \to C(B,g)$ が本質的に全射ならば、$ \bar T$は本質的に全射な関手となります。${\mathcal C}$/Tは薄い圏です。
よって、上命題と同じく${\mathcal C}$/TとC(B,g)は圏同値となります。（証明終）

以下、圏${\mathcal C}$と圏${\mathcal D}$が圏同値であることを${\mathcal C}\cong {\mathcal D}$で表します。

局所小圏${\mathcal C}$から薄い圏C(B,g)に関手Tが、薄い圏T(${\mathcal C}$)から薄い圏${\mathcal D}$に関手Sが定義されているとします。
このとき、${\mathcal C}$から${\mathcal D}$への合成関手$S\circ T$を考えると、上の議論から薄い圏T(${\mathcal C}$) / Sと${\mathcal C}$ / $S\circ T$が定義できます。TとSがともに充満関手ならば$S\circ T$も充満関手になるので、上の命題より${\mathcal C}/T\cong T({\mathcal C}$)、T(${\mathcal C}) / S\cong S(T({\mathcal C}$))、${\mathcal C} /(S\circ T)\cong S(T({\mathcal C}))$となります。$S({\mathcal C}/T)\cong S(T({\mathcal C}))$となることより
$T({\mathcal C}) / S\cong {\mathcal C} /(S\circ T)\cong S({\mathcal C}/T) $
が言えます。