薄い圏の考察(11). 薄化関手による剰余圏。

局所小圏${\mathcal C}$から薄い圏C(B,g)に、関手Tが定義されているとします。

このとき${\mathcal C}$における任意の射f:i ${ \to }$ jと射f':k ${ \to }$ lに対して
関係fTf'をT(f)=T(f')で定めます。この関係は

1. ${\mathcal C}$が空でないならば、任意のf${ \in }$hom(${\mathcal C}$)に対して、fTf　が成り立つ。
2. 任意のf,f'${ \in }$hom(${\mathcal C}$)に対して 　fTf' ならば f'Tf が成り立つ。
3. 任意の f,f',f"${ \in }$hom(${\mathcal C}$)に対して 　fTf' かつf'Tf" ならば fTf" が成り立つ。

という同値関係の条件を満たします。
（証明）1.T(f)=T(f)より。2.T(f)=T(f')ならばT(f')=T(f)より。3.T(f)=T(f')かつT(f')=T(f")ならばT(f)=T(f")より。（証明終）

ここで注意すべきは「薄い圏の考察(3)」の命題１より、
圏${\mathcal C}$から薄い圏C(B,g)への関手Tが定義されているならば、写像T：Ob(${\mathcal C}$) ${ \to }$ Bが定義され、かつ任意のi,j${ \in }$Ob(${\mathcal C}$)に対して圏C${_B}$での唯一の射g${_T}$${_(}$${_i}$${_)}$${_T}$${_(}$${_j}$${_)}$が存在することです。すなわち
射f:i ${ \to }$ jとf':i ${ \to }$ jがあったならば
T(f)=g${_T}$${_(}$${_i}$${_)}$${_T}$${_(}$${_j}$${_)}$=T(f')より関係fTf'が成り立ちます。これは各i,j${ \in }$Ob(${\mathcal C}$)とf:i ${ \to }$ jに対して
集合[f]$^T_{ij}$:={f'${ \in }$hom(i,j)|T(f)=T(f')}が定まることを意味します。

次に$ [f_2]^T_{jk}\circ [f_1]^T_{ij} :=[f_2\circ f_1]^T_{ik}$ として、この演算の定義が適当であることを示します。
（証明）
$ [f_1]^T_{ij}=[f'_1]^T_{ij}$かつ$ [f_2]^T_{jk}=[f'_2]^T_{jk}$とすると
$T(f_1)=T(f'_1)$かつ$T(f_2)=T(f'_2)$.
よって$T(f_2\circ f_1)=T(f_2)\circ T(f_1)=T(f'_2)\circ T(f'_1)=T(f'_2\circ f'_1)$となり
$ [f_2\circ f_1]^T_{ik}=[f'_2\circ f'_1]^T_{ik}$がいえる。（証明終）

また${\mathcal C}$の任意の対象iに対して[f]$^T_{ii}$:={f'${ \in }$hom(i,i)|T(f)=T(f')}は恒等射$id_i$の存在より空でない集合として存在します。

上記の事実から「薄い圏の考察(1)」の定義１で見たように、圏${\mathcal C}$に対して薄い圏C(ob(${\mathcal C}$),[f]$^T$)が定義できます。この圏を${\mathcal C}$/Tと書きます。各i,j${ \in }$Ob(${\mathcal C}$)に対して[f]$^T_{ij}$は空集合としてであれ必ず存在するので、${\mathcal C}$/Tは強連結な圏です。

以下のことが言えます。

命題。関手$ T:{\mathcal C} \to C(B,g)$ が充満関手ならば、${\mathcal C}$/TとT(${\mathcal C}$)は圏同値。
（証明）
関手$ \bar T:{\mathcal C}/T \to T({\mathcal C})$
を$ \bar T(i):=T(i)$ ,$\bar T([f]^T_{ij}):=T(f)$で定義します。Tが充満関手なので、任意のi,j$\in {\mathcal C}$に対して$\bar T([f]^T_{ij})$が定義できます。
$ \bar T$は対象について全射なので、本質的に全射な関手です。${\mathcal C}$/Tは強連結な圏です。
このとき「薄い圏の考察(3)」の補題１より${\mathcal C}$/TとT(${\mathcal C}$)は圏同値となります。（証明終）

命題。関手$ T:{\mathcal C} \to C(B,g)$ が本質的に全射かつ充満関手ならば、${\mathcal C}$/TとC(B,g)は圏同値。
（証明）関手$ \bar T:{\mathcal C}/T \to C(B,g)$
を$ \bar T(i):=T(i)$ ,$\bar T([f]^T_{ij}):=T(f)$で定義します。Tが充満関手なので、任意のi,j$\in {\mathcal C}$に対して$\bar T([f]^T_{ij})$が定義できます。
$ T:{\mathcal C} \to C(B,g)$ が本質的に全射ならば、$ \bar T$は本質的に全射な関手となります。${\mathcal C}$/Tは強連結な薄い圏です。
よって「薄い圏の考察(3)」の補題１より${\mathcal C}$/TとC(B,g)は圏同値となります。（証明終）

以下、圏${\mathcal C}$と圏${\mathcal D}$が圏同値であることを${\mathcal C}\cong {\mathcal D}$で表します。

局所小圏${\mathcal C}$から薄い圏C(B,g)に関手Tが、薄い圏T(${\mathcal C}$)から薄い圏${\mathcal D}$に関手Sが定義されているとします。
このとき、${\mathcal C}$から${\mathcal D}$への合成関手S$\circ$Tを考えると、上の議論から強連結な薄い圏T(${\mathcal C}$) / Sと${\mathcal C}$ / S$\circ$Tが定義できます。TとSがともに充満関手ならば上の命題より${\mathcal C}/T\cong T({\mathcal C}$)、T(${\mathcal C}) / S\cong S(T({\mathcal C}$))、${\mathcal C} /(S\circ T)\cong S(T({\mathcal C}))$となります。$S({\mathcal C}/T)\cong S(T({\mathcal C}))$となることより
$T({\mathcal C}) / S\cong {\mathcal C} /(S\circ T)\cong S({\mathcal C}/T) $
が言えます。