三角関数の方程式〜京大文系2012第5問の改題〜

解答

まず$(\ast )$を満たす$\theta$が存在する正の実数の組$(a,b)$の条件を求める。$a>0,b>0$に注意して以下議論する。
$$\begin{array}{rl}\sin a\theta =\cos b\theta & ⟺\sin a\theta =\sin ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-b\theta )\\ & ⟺a\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{2}}-b\theta +n\pi となる整数nが存在する。\\ & ⟺\theta ={\displaystyle \frac{2n+1}{2(a+b)}}\pi となる整数nが存在する。\end{array}$$
よって, $(\ast )$を満たす$\theta$が存在することは
$$\begin{array}{r}0<{\displaystyle \frac{2n+1}{2(a+b)}}\pi \leqq \pi \end{array}$$
を満たす整数$n$が存在することと同値である。これは
$$\begin{array}{r}0<{\displaystyle \frac{2n+1}{2(a+b)}}\pi \leqq \pi \end{array}$$
を
$$\begin{array}{r}0<n\leqq {\displaystyle \frac{2(a+b)-1}{2}}\end{array}$$
と整理できるから
$$\begin{array}{r}{\displaystyle \frac{2(a+b)-1}{2}}\geqq 1\end{array}$$
と言い換えられる。つまり
$$\begin{array}{r}2a+2b-3\geqq 0\end{array}$$
である。よって, 求める$(a,b)$の条件は
$$\begin{array}{r}a>0かつb>0かつかつ2a+2b-3<3\end{array}$$
である。これを座標平面上に図示すると, 以下の灰色部分になるが境界は含めない。