π^π^π^πが整数かどうかを(計算で)確かめるのに最低限必要なπの桁数は十進何桁か。

注意

$\text{Wolfram Alpha}$先生の力を多大に借りております。

書いていけばいくほど厳密さが欠けてきました。

間違いがあり、訂正しています。$666262452970848527\rightarrow 666262452970848526$

フェイクニュース拡散罪です。誠に申し訳ございません。

忙しい人用

$\text{A. 666 262 452 970 848 526}$桁
($\text{66 京 6262 兆 4529 億 7084 万 8526}$桁)

まぁまずは桁数の定義でも

桁数の方は$\pi$は整数部分が十進で$1$桁なのでという理由です。

評価

$x^{x^{x^x}}$は$x\geq 1$で単調増加であることから${}_{[要出典]}$
$$\hat{\pi}_n^{\hat{\pi}_n^{\hat{\pi}_n^{\hat{\pi}_n}}}<\pi^{\pi^{\pi^\pi}}<\left(\hat{\pi}_n+\dfrac{1}{10^n}\right)^{\left(\hat{\pi}_n+\dfrac{1}{10^n}\right)^{\left(\hat{\pi}_n+\dfrac{1}{10^n}\right)^{\left(\hat{\pi}_n+\dfrac{1}{10^n}\right)}}}$$
であることが分かります。
この$\pi^{\pi^{\pi^\pi}}$の上限と下限の差が1未満になればよいので、その上限と下限の差を評価する。
$x^{x^{x^x}}$を$x=\hat{\pi}_n$でテイラー展開すると
$$\hat{\pi}_n^{\hat{\pi}_n^{\hat{\pi}_n^{\hat{\pi}_n}}}+\hat{\pi}_n^{\left(\hat{\pi}_n^{\hat{\pi}_n^{\hat{\pi}_n}}+\hat{\pi}_n^{\hat{\pi}_n}-1\right)}\left[\hat{\pi}_n^{\hat{\pi}_n+1}\log^2(\hat{\pi}_n)(\log (\hat{\pi}_n)+1)+\hat{\pi}_n^{\hat{\pi}_n}\log(\hat{\pi}_n)+1\right](x-\hat{\pi}_n)$$
$$+\dfrac{1}{2}\hp^{\left(\hp^{\hp^{\hp}}+\hp^{\hp}-2\right)}\left[\hp^{\left(\hp^{\hp}+2\hp+2\right)}\log^6(\hp)+\left(2\hp^{\left(\hp^{\hp}+2\hp+2\right)}+\hp^{2+2\hp}\right)\log^5(\hp)+\left(\hp^{\hp^{\hp}+2\hp+2}+2\hp^{\hp^{\hp}+2\hp+1}+2\hp^{2\hp+2}+\hp^{\hp+2}\right)\log^4(\hp)+\left(2\hp^{\hp^{\hp}+2\hp+1}+\hp^{2\hp+2}+2\hp^{2\hp+1}+2\hp^{\hp^{\hp}+\hp+1}+2\hp^{\hp+2}\right)\log^3(\hp)+\left(\hp^{\hp^{\hp}+2\hp}+2\hp^{2\hp+1}+2\hp^{\hp^{\hp}+\hp+1}+\hp^{\hp+2}+5\hp^{\hp+1}\right)\log^2(\hp)+\left(2\hp^{\hp^{\hp}+\hp}+\hp^{2\hp}+4\hp^{\hp+1}-\hp^{\hp}\right)\log (\hp)+\hp^{\hp^{\hp}}+2\hp^{\hp}-1\right](x-\hp)^2+\cdots$$
二次まで展開していますがとりあえず一次で打ち切ったもので先に評価します。
ということで上限と下限の差は(大体)、
$$\hat{\pi}_n^{\left(\hat{\pi}_n^{\hat{\pi}_n^{\hat{\pi}_n}}+\hat{\pi}_n^{\hat{\pi}_n}-1\right)}\left[\hat{\pi}_n^{\hat{\pi}_n+1}\log^2(\hat{\pi}_n)(\log (\hat{\pi}_n)+1)+\hat{\pi}_n^{\hat{\pi}_n}\log(\hat{\pi}_n)+1\right]\dfrac{1}{10^n}$$
であると分かる。これが$1$未満であればよいので、
$$\hat{\pi}_n^{\left(\hat{\pi}_n^{\hat{\pi}_n^{\hat{\pi}_n}}+\hat{\pi}_n^{\hat{\pi}_n}-1\right)}\left[\hat{\pi}_n^{\hat{\pi}_n+1}\log^2(\hat{\pi}_n)(\log (\hat{\pi}_n)+1)+\hat{\pi}_n^{\hat{\pi}_n}\log(\hat{\pi}_n)+1\right]<10^n$$
を満たす最小の$n$を求めればよいことになり、両辺常用対数を取って、
$$(\hp^{\hp^{\hp}}+\hp^{\hp}-1)\log_{10}(\hp)+\log_{10}[1+\hp^{\hp}\log(\hp)+\hp^{\hp+1}\log^2(\hp)(\log(\hp)+1)]< n$$
この左辺の整数部分が確定するまでまず$n$を引き上げていく。
$(x^{x^{x^x}})'$は$x\geq 1$で単調増加であるので、${}_{[要出典]}$
$(\hp^{\hp^{\hp}}+\hp^{\hp}-1)\log_{10}(\hp)+\log_{10}[1+\hp^{\hp}\log(\hp)+\hp^{\hp+1}\log^2(\hp)(\log(\hp)+1)]<(\pi^{\pi^{\pi}}+\pi^{\pi}-1)\log_{10}(\pi)+\log_{10}[1+\pi^{\pi}\log(\pi)+\pi^{\pi+1}\log^2(\pi)(\log(\pi)+1)]<\left(\hpn^{\hpn^{\hpn}}+\hpn^{\hpn}-1\right)\log_{10}\left[\hpn\right]+\log_{10}\left[1+\hpn^{\hpn}\log\hpn+\hpn^{\hpn+1}\log^2\hpn\left(\log\hpn+1\right)\right]$
が$n$に依らず成り立つ。$n=21$のとき、
$666262452970848524.0<\log_{10}\left\{\left.\left(x^{x^{x^x}}\right)'\right|_{x=\pi}\right\}<666262452970848524.3$
よって、$\hp$の整数部分が確定するのは、少なくとも$n\geq 21$のときで、$6662624529708524$より大きく$6662624529708525$未満であることが分かる。
よって、
$$(\hp^{\hp^{\hp}}+\hp^{\hp}-1)\log_{10}(\hp)+\log_{10}[1+\hp^{\hp}\log(\hp)+\hp^{\hp+1}\log^2(\hp)(\log(\hp)+1)]< n$$を満たす最小の$n$は$6662624529708525$である。
そして先ほどのテイラー展開の二次以降なんですが、どうしようもないと思ってたら余剰項を考えることで解決しました。
$\teto{\hpn}=\hat{\pi}_n^{\hat{\pi}_n^{\hat{\pi}_n^{\hat{\pi}_n}}}+\hat{\pi}_n^{\left(\hat{\pi}_n^{\hat{\pi}_n^{\hat{\pi}_n}}+\hat{\pi}_n^{\hat{\pi}_n}-1\right)}\left[\hat{\pi}_n^{\hat{\pi}_n+1}\log^2(\hat{\pi}_n)(\log (\hat{\pi}_n)+1)+\hat{\pi}_n^{\hat{\pi}_n}\log(\hat{\pi}_n)+1\right]\cdot\dfrac{1}{10^n}+\left.\left(x^{x^{x^x}}\right)''\right|_{x=c}\cdot\dfrac{1}{2\cdot 10^{2n}}$
なる$c$が$\hp$と$\hp+\dfrac{1}{10^n}$の間に存在し、
今、$n=666262452970848525$として考えるので、
$${\left.\left(\teto{x}\right)''\right|}_{x=c}\cdot\dfrac{1}{2\cdot 10^{1332524905941697050}}$$
の大きさを評価すればいいことになる。
今、$x=3.141592653589793238463$は、$c$のとりうるいかなる値よりも大きく、また$\left(\teto{x}\right)''$は単調増加であるので、${}_{[要出典]}$
$${\left.\left(\teto{x}\right)''\right|}_{x=c}\cdot\dfrac{1}{2\cdot 10^{1332524905941697050}} < \dfrac{10^{666262452970848545}}{10^{1332524905941697050}}\ll 0.01$$
よってテイラー展開を一次で打ち切っても影響はない。
桁数は$n+1$で表されるので、最低限必要な十進桁数は$666\: 262\: 452\: 970\: 848\: 526$桁である。
ちなみに$\teto{\pi}$の近似値は$9.08\times 10^{666262452970848503}$です。指数部分が桁数とほぼ変わらないですね。

最後に

$\teto{x}$またはその1,2次導関数が$x\geq 1$で正であることは、そのまた導関数が正かつ、その関数が$x=1$で正であることを示せば大丈夫なのですが、三次導関数を書くのがあまりにも面倒くさかったのですべて省きました。なんかあれば書き足します。打ち間違いがある気しかしません。あったら指摘をお願いします。