フェイクニュース拡散罪です。誠に申し訳ございません。
$\text{A. 666 262 452 970 848 526}$桁
($\text{66 京 6262 兆 4529 億 7084 万 8526}$桁)
あくまで最低桁数。最高桁数は整数の場合で、限りが無い。
ある有理数$\hat{\pi}_n$を次のように定める。$n\geq 1$に対して、
$$\hat{\pi}_n<\pi<\hat{\pi}_n+\dfrac{1}{10^n}$$
$$10^n \hat{\pi}_n \in \mathbb{N}$$
また、このときの近似桁数は、$n+1$桁である。
桁数の方は$\pi$は整数部分が十進で$1$桁なのでという理由です。
$x^{x^{x^x}}$は$x\geq 1$で単調増加であることから${}_{[要出典]}$
$$\hat{\pi}_n^{\hat{\pi}_n^{\hat{\pi}_n^{\hat{\pi}_n}}}<\pi^{\pi^{\pi^\pi}}<\left(\hat{\pi}_n+\dfrac{1}{10^n}\right)^{\left(\hat{\pi}_n+\dfrac{1}{10^n}\right)^{\left(\hat{\pi}_n+\dfrac{1}{10^n}\right)^{\left(\hat{\pi}_n+\dfrac{1}{10^n}\right)}}}$$
であることが分かります。
この$\pi^{\pi^{\pi^\pi}}$の上限と下限の差が1未満になればよいので、その上限と下限の差を評価する。
$x^{x^{x^x}}$を$x=\hat{\pi}_n$でテイラー展開すると
$$\hat{\pi}_n^{\hat{\pi}_n^{\hat{\pi}_n^{\hat{\pi}_n}}}+\hat{\pi}_n^{\left(\hat{\pi}_n^{\hat{\pi}_n^{\hat{\pi}_n}}+\hat{\pi}_n^{\hat{\pi}_n}-1\right)}\left[\hat{\pi}_n^{\hat{\pi}_n+1}\log^2(\hat{\pi}_n)(\log (\hat{\pi}_n)+1)+\hat{\pi}_n^{\hat{\pi}_n}\log(\hat{\pi}_n)+1\right](x-\hat{\pi}_n)$$
$$+\dfrac{1}{2}\hp^{\left(\hp^{\hp^{\hp}}+\hp^{\hp}-2\right)}\left[\hp^{\left(\hp^{\hp}+2\hp+2\right)}\log^6(\hp)+\left(2\hp^{\left(\hp^{\hp}+2\hp+2\right)}+\hp^{2+2\hp}\right)\log^5(\hp)+\left(\hp^{\hp^{\hp}+2\hp+2}+2\hp^{\hp^{\hp}+2\hp+1}+2\hp^{2\hp+2}+\hp^{\hp+2}\right)\log^4(\hp)+\left(2\hp^{\hp^{\hp}+2\hp+1}+\hp^{2\hp+2}+2\hp^{2\hp+1}+2\hp^{\hp^{\hp}+\hp+1}+2\hp^{\hp+2}\right)\log^3(\hp)+\left(\hp^{\hp^{\hp}+2\hp}+2\hp^{2\hp+1}+2\hp^{\hp^{\hp}+\hp+1}+\hp^{\hp+2}+5\hp^{\hp+1}\right)\log^2(\hp)+\left(2\hp^{\hp^{\hp}+\hp}+\hp^{2\hp}+4\hp^{\hp+1}-\hp^{\hp}\right)\log (\hp)+\hp^{\hp^{\hp}}+2\hp^{\hp}-1\right](x-\hp)^2+\cdots$$
二次まで展開していますがとりあえず一次で打ち切ったもので先に評価します。
ということで上限と下限の差は(大体)、
$$\hat{\pi}_n^{\left(\hat{\pi}_n^{\hat{\pi}_n^{\hat{\pi}_n}}+\hat{\pi}_n^{\hat{\pi}_n}-1\right)}\left[\hat{\pi}_n^{\hat{\pi}_n+1}\log^2(\hat{\pi}_n)(\log (\hat{\pi}_n)+1)+\hat{\pi}_n^{\hat{\pi}_n}\log(\hat{\pi}_n)+1\right]\dfrac{1}{10^n}$$
であると分かる。これが$1$未満であればよいので、
$$\hat{\pi}_n^{\left(\hat{\pi}_n^{\hat{\pi}_n^{\hat{\pi}_n}}+\hat{\pi}_n^{\hat{\pi}_n}-1\right)}\left[\hat{\pi}_n^{\hat{\pi}_n+1}\log^2(\hat{\pi}_n)(\log (\hat{\pi}_n)+1)+\hat{\pi}_n^{\hat{\pi}_n}\log(\hat{\pi}_n)+1\right]<10^n$$
を満たす最小の$n$を求めればよいことになり、両辺常用対数を取って、
$$(\hp^{\hp^{\hp}}+\hp^{\hp}-1)\log_{10}(\hp)+\log_{10}[1+\hp^{\hp}\log(\hp)+\hp^{\hp+1}\log^2(\hp)(\log(\hp)+1)]< n$$
この左辺の整数部分が確定するまでまず$n$を引き上げていく。
$(x^{x^{x^x}})'$は$x\geq 1$で単調増加であるので、${}_{[要出典]}$
$(\hp^{\hp^{\hp}}+\hp^{\hp}-1)\log_{10}(\hp)+\log_{10}[1+\hp^{\hp}\log(\hp)+\hp^{\hp+1}\log^2(\hp)(\log(\hp)+1)]<(\pi^{\pi^{\pi}}+\pi^{\pi}-1)\log_{10}(\pi)+\log_{10}[1+\pi^{\pi}\log(\pi)+\pi^{\pi+1}\log^2(\pi)(\log(\pi)+1)]<\left(\hpn^{\hpn^{\hpn}}+\hpn^{\hpn}-1\right)\log_{10}\left[\hpn\right]+\log_{10}\left[1+\hpn^{\hpn}\log\hpn+\hpn^{\hpn+1}\log^2\hpn\left(\log\hpn+1\right)\right]$
が$n$に依らず成り立つ。$n=21$のとき、
$666262452970848524.0<\log_{10}\left\{\left.\left(x^{x^{x^x}}\right)'\right|_{x=\pi}\right\}<666262452970848524.3$
よって、$\hp$の整数部分が確定するのは、少なくとも$n\geq 21$のときで、$6662624529708524$より大きく$6662624529708525$未満であることが分かる。
よって、
$$(\hp^{\hp^{\hp}}+\hp^{\hp}-1)\log_{10}(\hp)+\log_{10}[1+\hp^{\hp}\log(\hp)+\hp^{\hp+1}\log^2(\hp)(\log(\hp)+1)]< n$$を満たす最小の$n$は$6662624529708525$である。
そして先ほどのテイラー展開の二次以降なんですが、どうしようもないと思ってたら余剰項を考えることで解決しました。
$\teto{\hpn}=\hat{\pi}_n^{\hat{\pi}_n^{\hat{\pi}_n^{\hat{\pi}_n}}}+\hat{\pi}_n^{\left(\hat{\pi}_n^{\hat{\pi}_n^{\hat{\pi}_n}}+\hat{\pi}_n^{\hat{\pi}_n}-1\right)}\left[\hat{\pi}_n^{\hat{\pi}_n+1}\log^2(\hat{\pi}_n)(\log (\hat{\pi}_n)+1)+\hat{\pi}_n^{\hat{\pi}_n}\log(\hat{\pi}_n)+1\right]\cdot\dfrac{1}{10^n}+\left.\left(x^{x^{x^x}}\right)''\right|_{x=c}\cdot\dfrac{1}{2\cdot 10^{2n}}$
なる$c$が$\hp$と$\hp+\dfrac{1}{10^n}$の間に存在し、
今、$n=666262452970848525$として考えるので、
$${\left.\left(\teto{x}\right)''\right|}_{x=c}\cdot\dfrac{1}{2\cdot 10^{1332524905941697050}}$$
の大きさを評価すればいいことになる。
今、$x=3.141592653589793238463$は、$c$のとりうるいかなる値よりも大きく、また$\left(\teto{x}\right)''$は単調増加であるので、${}_{[要出典]}$
$${\left.\left(\teto{x}\right)''\right|}_{x=c}\cdot\dfrac{1}{2\cdot 10^{1332524905941697050}} < \dfrac{10^{666262452970848545}}{10^{1332524905941697050}}\ll 0.01$$
よってテイラー展開を一次で打ち切っても影響はない。
桁数は$n+1$で表されるので、最低限必要な十進桁数は$666\: 262\: 452\: 970\: 848\: 526$桁である。
ちなみに$\teto{\pi}$の近似値は$9.08\times 10^{666262452970848503}$です。指数部分が桁数とほぼ変わらないですね。
$\teto{x}$またはその1,2次導関数が$x\geq 1$で正であることは、そのまた導関数が正かつ、その関数が$x=1$で正であることを示せば大丈夫なのですが、三次導関数を書くのがあまりにも面倒くさかったのですべて省きました。なんかあれば書き足します。打ち間違いがある気しかしません。あったら指摘をお願いします。