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エンタメ解説
文献あり

π^π^π^πが整数かどうかを(計算で)確かめるのに最低限必要なπの桁数は十進何桁か。

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注意

Wolfram Alpha先生の力を多大に借りております。

書いていけばいくほど厳密さが欠けてきました。

間違いがあり、訂正しています。666262452970848527666262452970848526

フェイクニュース拡散罪です。誠に申し訳ございません。

忙しい人用

A. 666 262 452 970 848 526
(66 京 6262 兆 4529 億 7084 万 8526桁)

あくまで最低桁数。最高桁数は整数の場合で、限りが無い。

まぁまずは桁数の定義でも

円周率の(ここでの)近似桁数の定義

ある有理数π^nを次のように定める。n1に対して、
π^n<π<π^n+110n
10nπ^nN
また、このときの近似桁数は、n+1桁である。

桁数の方はπは整数部分が十進で1桁なのでという理由です。

評価

xxxxx1で単調増加であることから[]
π^nπ^nπ^nπ^n<ππππ<(π^n+110n)(π^n+110n)(π^n+110n)(π^n+110n)
であることが分かります。
このππππの上限と下限の差が1未満になればよいので、その上限と下限の差を評価する。
xxxxx=π^nでテイラー展開すると
π^nπ^nπ^nπ^n+π^n(π^nπ^nπ^n+π^nπ^n1)[π^nπ^n+1log2(π^n)(log(π^n)+1)+π^nπ^nlog(π^n)+1](xπ^n)
+12π^n(π^nπ^nπ^n+π^nπ^n2)[π^n(π^nπ^n+2π^n+2)log6(π^n)+(2π^n(π^nπ^n+2π^n+2)+π^n2+2π^n)log5(π^n)+(π^nπ^nπ^n+2π^n+2+2π^nπ^nπ^n+2π^n+1+2π^n2π^n+2+π^nπ^n+2)log4(π^n)+(2π^nπ^nπ^n+2π^n+1+π^n2π^n+2+2π^n2π^n+1+2π^nπ^nπ^n+π^n+1+2π^nπ^n+2)log3(π^n)+(π^nπ^nπ^n+2π^n+2π^n2π^n+1+2π^nπ^nπ^n+π^n+1+π^nπ^n+2+5π^nπ^n+1)log2(π^n)+(2π^nπ^nπ^n+π^n+π^n2π^n+4π^nπ^n+1π^nπ^n)log(π^n)+π^nπ^nπ^n+2π^nπ^n1](xπ^n)2+
二次まで展開していますがとりあえず一次で打ち切ったもので先に評価します。
ということで上限と下限の差は(大体)、
π^n(π^nπ^nπ^n+π^nπ^n1)[π^nπ^n+1log2(π^n)(log(π^n)+1)+π^nπ^nlog(π^n)+1]110n
であると分かる。これが1未満であればよいので、
π^n(π^nπ^nπ^n+π^nπ^n1)[π^nπ^n+1log2(π^n)(log(π^n)+1)+π^nπ^nlog(π^n)+1]<10n
を満たす最小のnを求めればよいことになり、両辺常用対数を取って、
(π^nπ^nπ^n+π^nπ^n1)log10(π^n)+log10[1+π^nπ^nlog(π^n)+π^nπ^n+1log2(π^n)(log(π^n)+1)]<n
この左辺の整数部分が確定するまでまずnを引き上げていく。
(xxxx)x1で単調増加であるので、[]
(π^nπ^nπ^n+π^nπ^n1)log10(π^n)+log10[1+π^nπ^nlog(π^n)+π^nπ^n+1log2(π^n)(log(π^n)+1)]<(πππ+ππ1)log10(π)+log10[1+ππlog(π)+ππ+1log2(π)(log(π)+1)]<((π^n+110n)(π^n+110n)(π^n+110n)+(π^n+110n)(π^n+110n)1)log10[(π^n+110n)]+log10[1+(π^n+110n)(π^n+110n)log(π^n+110n)+(π^n+110n)(π^n+110n)+1log2(π^n+110n)(log(π^n+110n)+1)]
nに依らず成り立つ。n=21のとき、
666262452970848524.0<log10{(xxxx)|x=π}<666262452970848524.3
よって、π^nの整数部分が確定するのは、少なくともn21のときで、6662624529708524より大きく6662624529708525未満であることが分かる。
よって、
(π^nπ^nπ^n+π^nπ^n1)log10(π^n)+log10[1+π^nπ^nlog(π^n)+π^nπ^n+1log2(π^n)(log(π^n)+1)]<nを満たす最小のn6662624529708525である。
そして先ほどのテイラー展開の二次以降なんですが、どうしようもないと思ってたら余剰項を考えることで解決しました。
(π^n+110n)(π^n+110n)(π^n+110n)(π^n+110n)=π^nπ^nπ^nπ^n+π^n(π^nπ^nπ^n+π^nπ^n1)[π^nπ^n+1log2(π^n)(log(π^n)+1)+π^nπ^nlog(π^n)+1]110n+(xxxx)|x=c12102n
なるcπ^nπ^n+110nの間に存在し、
今、n=666262452970848525として考えるので、
(xxxx)|x=c12101332524905941697050
の大きさを評価すればいいことになる。
今、x=3.141592653589793238463は、cのとりうるいかなる値よりも大きく、また(xxxx)は単調増加であるので、[]
(xxxx)|x=c12101332524905941697050<106662624529708485451013325249059416970500.01
よってテイラー展開を一次で打ち切っても影響はない。
桁数はn+1で表されるので、最低限必要な十進桁数は666262452970848526桁である。
ちなみにππππの近似値は9.08×10666262452970848503です。指数部分が桁数とほぼ変わらないですね。

最後に

xxxxまたはその1,2次導関数がx1で正であることは、そのまた導関数が正かつ、その関数がx=1で正であることを示せば大丈夫なのですが、三次導関数を書くのがあまりにも面倒くさかったのですべて省きました。なんかあれば書き足します。打ち間違いがある気しかしません。あったら指摘をお願いします。

参考文献

投稿日:2024913
更新日:2024925
OptHub AI Competition

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