注意
先生の力を多大に借りております。
書いていけばいくほど厳密さが欠けてきました。
間違いがあり、訂正しています。
フェイクニュース拡散罪です。誠に申し訳ございません。
忙しい人用
桁
(桁)
あくまで最低桁数。最高桁数は整数の場合で、限りが無い。
まぁまずは桁数の定義でも
円周率の(ここでの)近似桁数の定義
ある有理数を次のように定める。に対して、
また、このときの近似桁数は、桁である。
桁数の方はは整数部分が十進で桁なのでという理由です。
評価
はで単調増加であることから
であることが分かります。
このの上限と下限の差が1未満になればよいので、その上限と下限の差を評価する。
をでテイラー展開すると
二次まで展開していますがとりあえず一次で打ち切ったもので先に評価します。
ということで上限と下限の差は(大体)、
であると分かる。これが未満であればよいので、
を満たす最小のを求めればよいことになり、両辺常用対数を取って、
この左辺の整数部分が確定するまでまずを引き上げていく。
はで単調増加であるので、
がに依らず成り立つ。のとき、
よって、の整数部分が確定するのは、少なくとものときで、より大きく未満であることが分かる。
よって、
を満たす最小のはである。
そして先ほどのテイラー展開の二次以降なんですが、どうしようもないと思ってたら余剰項を考えることで解決しました。
なるがとの間に存在し、
今、として考えるので、
の大きさを評価すればいいことになる。
今、は、のとりうるいかなる値よりも大きく、または単調増加であるので、
よってテイラー展開を一次で打ち切っても影響はない。
桁数はで表されるので、最低限必要な十進桁数は桁である。
ちなみにの近似値はです。指数部分が桁数とほぼ変わらないですね。
最後に
またはその1,2次導関数がで正であることは、そのまた導関数が正かつ、その関数がで正であることを示せば大丈夫なのですが、三次導関数を書くのがあまりにも面倒くさかったのですべて省きました。なんかあれば書き足します。打ち間違いがある気しかしません。あったら指摘をお願いします。