ウォリス積分を使ったカタラン数の母関数の求め方

ウォリス積分の結果より以下の等式が成り立つ
$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{2n}xdx=\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\cdot \frac{\pi }{2}=\frac{{}_{2n}{\mathrm{C}}_n}{2^{2n}}\cdot \frac{\pi }{2}$$
したがって
$$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{}_{2n}{\mathrm{C}}_n{x}^n=\frac{2}{\pi }\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}(4x{\sin }^{2}t{)}^{n}dt$$
が成立する. $0<4x<1$とすると$0<4x{\sin }^{2}t<1$となるので, 無限等比級数の和の公式が適応できる.(積分とシグマの交換については問題ないことが簡単に確認できる.)
$$\begin{array}{rl}\frac{2}{\pi }\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}(4x{\sin }^{2}t{)}^{n}dt& =\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(4x{\sin }^{2}t{)}^{n}dt\\ & =\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{1}{1-4x{\sin }^{2}t}dt\\ & =\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{1}{1-2x(1-\cos 2t)}dt\end{array}$$
このとき, $\tan t=y$と置換すると, 積分範囲は$0\to \mathrm{\infty }$,$\cos 2t={\displaystyle \frac{1-y^2}{1+y^2}}$, $dt={\displaystyle \frac{1}{1+y^2}}dy$なので
$$\begin{array}{rl}\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{1}{1-2x(1-\cos 2t)}dt& =\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{1-2x(1-\frac{1-y^2}{1+y^2})}\cdot \frac{1}{1+y^2}dy\\ & =\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{1+y^2-2x(1+y^2-(1-y^2))}dy\\ & =\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{1+(1-4x)y^2}dy\\ & =\frac{2}{\pi }{[\frac{1}{\sqrt{1-4x}}\cdot \arctan y]}_0^{\mathrm{\infty }}\\ & =\frac{1}{\sqrt{1-4x}}\end{array}$$
よって
$${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-4x}}}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{}_{2n}{\mathrm{C}}_n{x}^n$$
が成立する.

$${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-4x}}}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{}_{2n}{\mathrm{C}}_n{x}^n$$
が成立するので, 両辺を$x$で積分すると,
$$\begin{array}{rl}\int \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{}_{2n}{\mathrm{C}}_n{x}^{n}dx& =\int {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-4x}}}dx\\ \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{}_{2n}{\mathrm{C}}_n}{n+1}{x}^{n+1}& =\frac{C}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{1-4x}\cdots (1)\\ \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{x}^n& =\frac{C-\sqrt{1-4x}}{2x}\end{array}$$
$(1)$に$x=0$を代入すると$0={\displaystyle \frac{C}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}$となるので$C=1$. よって
$$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{x}^n=\frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}$$