OMCB040(B)を解いてみた(初投稿)

注意

初投稿なので、至らない点があるかもしれません。
先にお詫び申し上げます。

問題

OMCB040(B)
正整数$m,n,N$が、
$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \sqrt{7m}+n=77\cdots①\\ m+\sqrt{7n}=7N\cdots② \end{array} \right. \end{eqnarray} $$
を満たすとき$N$としてあり得る値の総和を求めてください

解法

方針

どちらかの式に代入して、変数を統一することを考える。
②は変数ばかりでやりにくそうなので、①を式変形して代入できる形にする。

やってみる

①を式変形すると、
$$ n=77-\sqrt{7m} $$
$n$は正整数であることから、$\sqrt{7m}$は非負整数であることがわかる。
$m$も正整数なので、$x$を正整数とすると、$m=7x^2$と表せる。
これを代入すると、
$$ n=77-\sqrt{7\cdot7x^2} $$
これを計算して、
$$ n=77-7x\cdots③ $$
$n$は正整数なので、
$$ \begin{align} n=77-7x&>0\\ 0< x&<11\cdots④ \end{align} $$
③を②に代入すると、
$$ m+\sqrt{7\cdot(77-7x)}=7N $$
これを計算すると、
$$ m+\sqrt{7\cdot7(11-x)}=7N $$
$$ m+7\sqrt{11-x}=7N $$
これに$m=7x^2$を代入して、両辺を$7$で割ると、最終的に、
$$ x^2+\sqrt{11-x}=N $$
となる。
$x^2$と$N$は正整数なので、$\sqrt{11-x}$は非負整数であることがわかる。
④を考慮すると、条件に当てはまるのは、
$x=2,7,10$の場合のみである。
これらを代入すると、
$N=7,51,101$となり、総和をとると$159$になる。
よって正解は$159$。

感想・まとめ

今回は、数弱である僕がOMCの問題を解いてみました。
僕の中では、比較的綺麗に解けたかなと思っています。
内容に間違いがあったり、もっとこうした方がいいよ、という部分があったらコメントで教えてください。
よろしくお願いします<m(__)m>