を このひと が言っていたので書いておきます.
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$n=2022$の構成:マス$(1011,1011)$および$(1011,1012)$を白く塗り,他を黒く塗れば良い.
2021を9にした図
可能であることはリス地の$x$座標が奇数なら$(1011,1011)$と$\{(1011,1009)\ \mathrm{or}\ (1011,1013)\}$のどっちにも行けて,偶数なら$(1011,1010)$と$(1011,1012)$のどっちにも行けることから分かります.
真ん中で揃えるとめっちゃ省エネで行けるらしいです,すごー