エナジードリンクZONeの新作のパッケージに書かれた式を列挙 ただし解説は(でき)ない
はじめに
2026年1月13日に発売されたエナジードリンクの「ZONe ENERGY」シリーズ新作 「ZONe ENERGY[解]」(Absolute Intelligence [Ai])のパッケージデザインが良かったので式を示しておきます。
順番はテキトーです。
Wikiなどへのリンクを貼るようにしました。
一部見切れていた式は、想像で復元しました。
数式一覧
例：二次方程式の解の公式(タイトル)
$$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2 -4ac}}{2}.$$
（ざっくり説明/定理の主張だけ）
メルセンヌ数(メルセンヌ素数)
$$2^{136,289,741} - 1.$$
メルセンヌ数は見た目で判断しやすいですよね。
自然数 $n\in\mathbb{N}$ について、
$$2^{n} - 1$$
の形で表される数をメルセンヌ数といい、メルセンヌ数であり、かつ素数である数をメルセンヌ素数という。
2026年1月14日現在知られている最大のメルセンヌ素数が書かれている式だそうです。
シャノンのエントロピー(平均情報量)
$$H(X) = -\sum_i p(x_i) \log(p(x_i)) .$$
確率とその対数が書かれているところから予想できますね。
事象$E=[X=x]$が起こる確率を$p(x)$と書く。このとき、事象$E$の情報量$I(x)$を次で定める。
$$I(x) := \log\dfrac{1}{p(x)} = -\log {p(x)}.$$
それぞれの$i=1,...,n$について、確率変数$X$について、事象[$X = x_i$]が起こる確率は$p(x_i)$で表されるとする。このとき、確率変数$X$のエントロピーを次の式で定める。
$$H(X) = -\sum_{i=1}^n p(x_i) \log(p(x_i)).$$
確率変数が二択($X=x$か$X \neq x$)の場合は$p:=p(x)$として
$$H(X) = -p\log p - (1-p) \log (1-p).$$
起こりにくい事象ほど情報量が大きくなるそうです。「必ず外れる占い師」は情報量が大きく、「当たるか外れるか全くわからない占い師」が情報量0になるみたいです。直感にもあっていますね。
参考: 情報量 | Wikipedia
相対エントロピー(カルバック・ライブラー情報量)
$$H(p;q) = \sum_x p(x)\log\dfrac{p(x)}{q(x)} .$$
先ほどの式と関連がありますね。
確率変数$X$に対して、二種類の離散確率分布$p(x), q(x)$があるとする。このとき、$p$の$q$に対する相対エントロピー$H(p,q)$を
$$ \sum_{x} p(x)\log\dfrac{p(x)}{q(x)} $$
と定める。
ベイズ推定ともちょっと関連がある量らしいですね。
参考: カルバック・ライブラー情報量 | Wikipedia
シャノンの情報源符号化定理
$$H(X) \leq L < H(X) + 1.$$
通信路符号化の話題だそうです。
$2$個の要素からなる情報源$X$のエントロピーを$H(X)$とするとき、符号語の長さの平均値$L$は以下の範囲に入る。
$$H(X)\leq L < H(X) + 1.$$
ハフマン符号化などはよくこの条件を満たすようです。
参考:
シャノンの情報源符号化定理 | Wikipedia
参考:
情報理論・符号理論の基礎ー講師用
回転体の体積
$$ V=\int_a^b {2x\pi f(x))} dx .$$
$(a,b)$上で連続な関数$f(x)$と、$x=a, x=b$および$x$軸によって囲まれた部分を、$x$軸を中心に一回転させたときにできる立体の体積$V$は
$$V=\int_a^b{2x\pi f(X)}dx$$
で求められる。
回転体の体積を求めるには「パップス＝ギュルダンの定理」も重要らしいです。
参考:
回転体 | Wikipedia
参考:
パップス＝ギュルダンの定理 | Wikipedia
斜めの回転体の体積
$$ V= \pi \cos \theta \int_a^b \left\{mx - f(x)\right\}^2 dx .$$
$(a,b)$上で連続な関数$f(x)$と、$x=a, x=b$および直線$y=mx$によって囲まれた部分を、$x$軸を中心に一回転させたときにできる立体の体積$V$は
$$ V= \pi \cos \theta \int_a^b {mx - f(x)}^2 dx $$
で求められる。
回転軸が斜めに存在しているのでちょっとだけ難しいみたいです。
参考: 【高校数学Ⅲ】斜軸回転体の体積（傘型分割積分、裏技公式） | 受験の月
コーシー＝シュワルツの不等式
$$ \left(\sum_{i=1}^n{a_i}^2\right)\left(\sum_{i=1}^n{b_i}^2\right) \geq \left(\sum_{i=1}^na_ib_i\right)^2 .$$
二つの数列${a_n}$と${b_n}$について次の不等式が成り立つ。
$$ \left(\sum_{i=1}^n{a_i}^2\right)\left(\sum_{i=1}^n{b_i}^2\right) \geq \left(\sum_{i=1}^na_ib_i\right)^2 .$$
ベクトルをやった人にとっては、内積と絶対値の関係からもイメージできるそうです。
また、同様の不等式の積分バージョンも有名らしいです。
参考: コーシー＝シュワルツの不等式 | Wikipedia
ABC予想
$$ c > d^{\epsilon + 1} .$$
自然数$2\leq n \in \mathbb{N}$に対して、$n$を相異なる素数$p_i$とその指数$d_i$によって素因数分解したとする。
$$n = {p_1}^{d_1}\times {p_2}^{d_2} \times \cdots .$$
このとき、$d_i>1$となる指数をすべて$d_i=1$に置き換えた値を、$n$の根基といい$\mathrm{rad}(n)$であらわす。関数$\mathrm{rad}$を根基関数という。
$a,b$が$a\perp b$(互いに素)であって$c=a+b$を満たす自然数の組$(a,b,c)$について、不等式
$$c>(\mathrm{rad}(abc))^{\varepsilon + 1}$$
を満たす$(a,b,c)$の組が無限に存在するような正の実数$\varepsilon >0$は存在しない。
素数と関連する未解決問題として知られているそうです。日本人の望月新一教授が証明とされる論文を投稿しているそうですが、真偽を確認するのは簡単ではなさそうです。
参考:
ABC予想 | Wikipedia
参考:
望月新一の論文
チェビシェフの不等式
$$ \mathrm{P}\left(|X-\mu| \geq k\sigma\right) \leq \dfrac{1}{k^2} .$$
ある事象$\omega$が起こる確率を$\mathrm{P}\left(\omega\right)$と書く。
変数$X$が、何かの確率分布に従って変化するとき、$X$を確率密度関数という。
$X$の期待値(確率で重み付けした平均値)が$\mu$で分散が$\sigma$であるような確率変数とする。
このとき、任意の実数$k>0$に対して
$$ \mathrm{P}\left(|X-\mu| \geq k\sigma\right) \leq \dfrac{1}{k^2} $$
が成り立つ。
ざっくり言えば、データの平均と分散から、ある値がどれくらい起こり得るの予想できるという定理でしょうか。データの代表値から決まるのが強そうですね。
ストークスパラメータ(Stokes parameters)
$$ S_1^2 + S_2^2 + S_3^2 = S^2.$$
電磁波(光など)の電場は横波なので、上下と左右の成分で表すと
$$\begin{align}
E_x &= a_1 \cos(x - \alpha) \\
E_y &= a_2 \cos(x + \beta)
\end{align}$$
と表せる。このとき、ストークスパラメータとは4つの値
$$\begin{align}
S &= {a_1}^2 + {a_2} ^2\\
S_1 &= {a_1}^2 - {a_2} ^2\\
S_2 &= 2{a_1}{a_2}\cos(\alpha + \beta)\\
S_3 &= 2{a_1}{a_2}\sin(\alpha + \beta)\\
\end{align}$$
のことである。
ストークスパラメータには次の関係式が成り立つ
$${S_1}^2 + {S_2}^2 + {S_3}^2 =S^2.$$
この式は数学というよりも物理系なようですね。
参考:
ストークスパラメータ | 宇宙物理メモ
参考:
Stokes parameters | Wikipedia
オイラー定数
$$ \lim_{n\to\infty}{\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k} -\ln n} = \gamma.$$
自然数$n$について、$1$から$n$までの逆数和と$n$の自然対数の差の数列は収束する。この収束値をオイラー定数(オイラーの定数)という。
$$ \gamma := \lim_{n\to\infty}\left({\left(\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k}\right) -\ln n}\right).$$
定理というより定義の式らしいですが、色々な分野で見かける定数なようです。
ラプラス変換
$$ \mathcal{L}[f(t)] = \int_0^\infty e^{-st}f(t)dt .$$
※最初の記号($\mathcal{L}$)はカリグラフィーのL
ある関数$f(t)$に対して、そのラプラス変換$F(s)$を
$$ \mathcal{L}[f(t)]:= F(s) := \int_0^\infty e^{-st}f(t)dt $$
と定める。
こちらも定義式ですね。微分方程式の問題を代数的な式変形(部分分数分解)に帰着できるのですごいらしいです。似ている変換にフーリエ変換というのもあるそうです。
フェルマーの小定理
$$a^{p-1} \equiv 1 \mod p.$$
整数$a$と素数$p$について
$$a^{p-1} \equiv 1 \mod p$$
が成り立つ。
こちらの方が最終定理よりも使われているのに小定理なのがかわいそうですね。
ルジャンドル変換(ルジャンドル＝フェンシェル変換)
$$f^*(p) = \sup_x (px - f(x)).$$
$n$次ベクトルから実数への関数$f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$について(正しくは正負の無限大を値域に含める)、
$f$のルジャンドル変換次の式で定義される。
$$f^*(p) := \sup_{x \in \mathbb{R}^n} ((p \cdot x) - f(x)).$$
ただし、$(p\cdot x)$はベクトルの内積である。
この変換は凸な関数では二回の変換で元に戻るという性質があるようです。双対空間みたいで面白いですね。一般化としてルジャンドル＝フェンシェル変換というものも知られているみたいです。
参考:
ルジャンドル変換 | Wikipedia
参考:
凸共役性 | Wikipedia
フィボナッチ数列の一般項
$$F_n = \dfrac{1}{\sqrt 5}\left\{\left(\dfrac{1 + \sqrt 5}{2}\right)^n - \left(\dfrac{1 - \sqrt 5}{2}\right)^n\right\}.$$
数列$F_n$を次のように定める。
$$\begin{align}
F_0 = &0, F_1=1,\\
F_{n+2}&=F_{n+1}+F_n.\end{align}$$
つまり、直前2項の和を次の項とする数列とする。
最初の8項は
$0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... $
と続く。
フィボナッチ数列の一般項は次式で与えられる。
$$F_n = \dfrac{1}{\sqrt 5}\left\{\left(\dfrac{1 + \sqrt 5}{2}\right)^n - \left(\dfrac{1 - \sqrt 5}{2}\right)^n\right\}.$$
漸化式の有名な問題だそうです。黄金比も出てくるのできれいですね。類似としてリュカ数列というのもあるみたいです。
参考:
フィボナッチ数 | Wikipedia
参考:
リュカ数 | Wikipedia
ラマヌジャンの円周率の公式たち
$$\frac{1}{\pi}=\frac{2\sqrt{2}}{99^2} \sum_{n=0}^\infty \frac{(4n)!(1103+26390n)}{(4^n99^nn!)^4}.$$
$$\frac{4}{\pi}=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(4n)!(1123+21460n)}{882^{2n+1}(4^nn!)^4}.$$
$\pi$を円周率とするとき、次の等式が成り立つ。
$$\frac{1}{\pi}=\frac{2\sqrt{2}}{99^2} \sum_{n=0}^\infty \frac{(4n)!(1103+26390n)}{(4^n99^nn!)^4}.$$
$$\frac{4}{\pi}=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(4n)!(1123+21460n)}{882^{2n+1}(4^nn!)^4}.$$
数学者ラマヌジャンの発見した円周率に関する公式らしいです。初めて見るとどうやって思いついたのか見当もつきませんね。
参考: シュリニヴァーサ・ラマヌジャン| Wikipedia
ロピタルの定理
$$ \lim_{x \to c} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{f'(x)}{g'(x)}.$$
実数$c\in\mathbb{R}$について、$c$の除外近傍($c$自身を含めない近傍)で$f(x),g(x)$は微分可能であって、$\displaystyle\lim_{x\to c}f(x) = 0$かつ$\displaystyle\lim_{x\to c}g(x) = 0$が成り立つとする。
①さらに、極限$\displaystyle\lim_{x \to c}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=\chi$が実数に収束$\chi \in \mathbb{R}$し、
②$c$の除外近傍で$g'(x) \neq 0$が成り立つならば、
$$\lim_{x\to c}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to c}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}$$
が成り立つ。
参考:
ロピタルの定理 | Wikipedia
参考:
ロピタルの定理の条件と例題 | 高校数学の美しい物語
二項定理
$$\sum_{k=0}^n \begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}=2^n.$$
$(1+x)^n$の展開式で、$x^k$の係数を ${}_n\!\mathrm{C}_k$または$\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}$と書き、二項係数という。二項係数は$$\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}$$によって計算できる。
二項係数の定義について、$x=1$を代入すると
$$\sum_{k=0}^n \begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}=2^n$$
を得る。
二項係数の和が2の冪になるという公式みたいですね。パスカルの三角形なども関連する等式だそうです。
参考: 二項係数| Wikipedia
ハートの方程式
$$x^2+(y-\sqrt[3]{x^2})^2=1.$$
ハートの方程式の図示
有名なグラフらしいです。関数アーティストっぽいですね。
ネイピア数(自然対数の底)
e=2.
7182818284 5904523536 0287471352 6624977572 4709369995
9574966967 6277240766 3035354759 4571382178 5251664274
2746639193 2003059921 8174135966 2904357290 0334295260
5956307381 3232862794 3490763233 8298807531 9525101909 1
パッケージ中央に渦巻状に書かれた数値です。
次の極限値をネイピア数(自然対数の底)という
$$
e := \lim_{n\to \infty} \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n.
$$
ネイピア数は
$e=$2.
7182818284 5904523536 0287471352 6624977572 4709369995
9574966967 6277240766 3035354759 4571382178 5251664274
2746639193 2003059921 8174135966 2904357290 0334295260
5956307381 3232862794 3490763233 8298807531 9525101901 1...
と続く。
解析の定数としては有名らしいです。オイラーの公式の一員になっているみたいです。
参考:
ネイピア数 | Wikipedia
参考:
e (mathematical constant) | Wikipedia
参考:
自然対数の底eの１万桁表示
おわり
お読みいただきありがとうございました。
筆者はどの分野にも詳しくないので誤りや誤解生みそうな表現を見かけましたらお教えいただけると幸いです。
おまけ
個人的には$n$次正方行列$A=[a_{i,j}]$の行列式
$$\det A := \sum_{\sigma \in \mathfrak{S} } \left(\mathrm{sgn}(\sigma) \prod_{i=1}^n a_{i,\sigma(i)} \right) $$
が固有値$\lambda_1, \cdots, \lambda_n$の積
$$\det A = \lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_n$$
になるのが好きです。
