2次無理数の有理数近似（ディオファントス近似）
2次の無理数を有理数で近似する方法を考えよう.
$N,a,b,c,d$を$ac=Nbd$を満たす正の整数とする.
$$\frac{a}{b} \lt \sqrt{N} \Longleftrightarrow \sqrt{N} \lt \frac{c}{d}$$
$$\frac{a}{b} < \sqrt{\frac{ac}{bd}} \Longleftrightarrow \sqrt{\frac{a}{b}} < \sqrt{\frac{c}{d}} \Longleftrightarrow \sqrt{\frac{ac}{bd}} < \frac{c}{d}$$
$a,b,c,d$を正の整数とする.
$$\frac{a}{b} \lt \frac{c}{d} \Longrightarrow \frac{a}{b} \lt \frac{a+c}{b+d} \lt \frac{c}{d}$$
証明は容易
$a,b,c,d,k,l$を正の整数とする.
$$\frac{a}{b} \lt \frac{c}{d} \Longrightarrow \frac{a}{b} \lt \frac{ka+lc}{kb+ld} \lt \frac{c}{d}$$
$$\frac{a}{b} < \sqrt{N} \Longleftrightarrow \sqrt{N} \lt \frac{a+Nb}{b+a} $$
$$\frac{c}{d} > \sqrt{N} \Longleftrightarrow \sqrt{N} \gt \frac{c+Nd}{d+c} $$
$$\frac{a+Nb}{b+a} - \sqrt{N} = \frac{a+Nb-\sqrt{N}(b+a)}{b+a}=\frac{(\sqrt{N}-1)(b\sqrt{N}-a)}{b+a}$$
より.
$$\frac{1}{1} \lt \sqrt{2} \lt \frac{2}{1}$$
$$\frac{2+2*1}{1+2} \lt \sqrt{2} \lt \frac{1+2*1}{1+1}$$
$$\frac{3+2*2}{2+3} \lt \sqrt{2} \lt \frac{4+2*3}{3+4}$$
$$\frac{10+2*7}{7+10} \lt \sqrt{2} \lt \frac{7+2*5}{5+7}$$
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