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Rogers-Fine恒等式

以下は, 最近の論文Elementary derivations of the Rogers-Fine identity and other q-series identities.におけるRogers-Fine恒等式の証明である.

Rogers-Fine恒等式

$| x | < 1$ のとき,
$\begin{aligned} (1 - x) \sum_{0 \leq n} \frac{(a; q)_{n}}{(b; q)_{n}} x^{n} & = \sum_{0 \leq n} \frac{(a, a x q / b; q)_{n}}{(b, x q; q)_{n}} (b x)^{n} q^{n^{2} - n} (1 - a x q^{2 n}) \end{aligned}$
が成り立つ.

右辺を $F (a, b, x)$ とする.
$\begin{aligned} F (a, b, x) & = \sum_{0 \leq n} \frac{(a, a x q / b; q)_{n}}{(b, x q; q)_{n}} (b x)^{n} q^{n^{2} - n} (1 - a x q^{2 n}) \\ = \sum_{0 \leq n} \frac{(a, a x q / b; q)_{n}}{(b, x q; q)_{n}} (b x)^{n} q^{n^{2} - n} (1 - x q^{n}) + \sum_{0 \leq n} \frac{(a, a x q / b; q)_{n}}{(b, x q; q)_{n}} (b x)^{n} q^{n^{2} - n} x q^{n} (1 - a q^{n}) \\ = \sum_{0 \leq n} \frac{(a, a x q / b; q)_{n}}{(b; q)_{n} (x q; q)_{n - 1}} (b x)^{n} q^{n^{2} - n} + x \sum_{0 \leq n} \frac{(a; q)_{n + 1} (a x q / b; q)_{n}}{(b, x q; q)_{n}} (b x)^{n} q^{n^{2}} \\ = 1 - x + \sum_{0 \leq n} \frac{(a, a x q / b; q)_{n + 1}}{(b; q)_{n + 1} (x q; q)_{n}} (b x)^{n + 1} q^{n^{2} + n} + x \sum_{0 \leq n} \frac{(a; q)_{n + 1} (a x q / b; q)_{n}}{(b, x q; q)_{n}} (b x)^{n} q^{n^{2}} \\ = 1 - x + x \sum_{0 \leq n} \frac{(a; q)_{n + 1} (a x q / b; q)_{n}}{(b, x q; q)_{n}} (b x)^{n} q^{n^{2}} (1 + \frac{b q^{n} (1 - a x q^{n} / b)}{1 - b q^{n}}) \\ = 1 - x + x \frac{1 - a}{1 - b} \sum_{0 \leq n} \frac{(a q, a x q / b; q)_{n}}{(b q, x q; q)_{n}} (b x)^{n} q^{n^{2}} (1 - a x q^{2 n + 1}) \\ = 1 - x + x \frac{1 - a}{1 - b} F (a q, b q, x) \end{aligned}$
よって,
$\begin{array}{r} F (a q^{n}, b q^{n}, x) - \frac{1 - a q^{n}}{1 - b q^{n}} x F (a q^{n + 1}, b q^{n + 1}, x) = 1 - x \end{array}$
である. 両辺に $\frac{(a; q)_{n}}{(b; q)_{n}} x^{n}$ を掛けて足し合わせると, $| x | < 1$ において, $lim_{N \to \infty} \frac{(a; q)_{N}}{(b; q)_{N}} x^{N} F (a q^{N}, b q^{N}, x) = 0$
$\begin{aligned} F (a, b, x) & = \sum_{0 \leq n} (\frac{(a; q)_{n}}{(b; q)_{n}} x^{n} F (a q^{n}, b q^{n}, x) - \frac{(a; q)_{n + 1}}{(b; q)_{n + 1}} x^{n + 1} F (a q^{n + 1}, b q^{n + 1}, x)) \\ = (1 - x) \sum_{0 \leq n} \frac{(a; q)_{n}}{(b; q)_{n}} x^{n} \end{aligned}$
となって定理が示される.

$\begin{array}{r} \frac{(a; q)_{\infty}}{(b; q)_{\infty}} = \sum_{0 \leq n} \frac{(a, a q / b; q)_{n}}{(b, q; q)_{n}} b^{n} q^{n^{2} - n} (1 - a q^{2 n}) \end{array}$

$\begin{aligned} (1 - x) \sum_{0 \leq n} \frac{(a; q)_{n}}{(b; q)_{n}} x^{n} & = \sum_{0 \leq n} \frac{(a, a x q / b; q)_{n}}{(b, x q; q)_{n}} (b x)^{n} q^{n^{2} - n} (1 - a x q^{2 n}) \end{aligned}$
において, $x \to 1$ とすると, 右辺はそのまま $x = 1$ が代入され, Abelの連続性定理から左辺は
$\begin{aligned} lim_{x \to 1} (1 - x) \sum_{0 \leq n} \frac{(a; q)_{n}}{(b; q)_{n}} x^{n} & = 1 + lim_{x \to 1} \sum_{0 \leq n} (\frac{(a; q)_{n + 1}}{(b; q)_{n + 1}} - \frac{(a; q)_{n}}{(b; q)_{n}}) x^{n} \\ = 1 + \sum_{0 \leq n} (\frac{(a; q)_{n + 1}}{(b; q)_{n + 1}} - \frac{(a; q)_{n}}{(b; q)_{n}}) \\ = 1 + lim_{N \to \infty} \sum_{0 \leq n < N} (\frac{(a; q)_{n + 1}}{(b; q)_{n + 1}} - \frac{(a; q)_{n}}{(b; q)_{n}}) \\ = lim_{N \to \infty} \frac{(a; q)_{N}}{(b; q)_{N}} = \frac{(a; q)_{\infty}}{(b; q)_{\infty}} \end{aligned}$
となる.

上の系において $b \to 0$ としたときに得られる等式
$\begin{aligned} (a; q)_{\infty} & = \sum_{0 \leq n} \frac{(a; q)_{n}}{(q; q)_{n}} (- a)^{n} q^{\frac{3 n^{2} - n}{2}} (1 - a q^{2 n}) \end{aligned}$
はSilvesterの恒等式として知られており, $a = q$ とするとEulerの五角数定理を得る.