Rogers-Fine恒等式
以下は, 最近の論文Elementary derivations of the Rogers-Fine identity and other q-series identities.におけるRogers-Fine恒等式の証明である.
$|x|<1$のとき,
\begin{align}
(1-x)\sum_{0\leq n}\frac{(a;q)_n}{(b;q)_n}x^n&=\sum_{0\leq n}\frac{(a,axq/b;q)_n}{(b,xq;q)_n}(bx)^nq^{n^2-n}(1-axq^{2n})
\end{align}
が成り立つ.
右辺を$F(a,b,x)$とする.
\begin{align}
F(a,b,x)&=\sum_{0\leq n}\frac{(a,axq/b;q)_n}{(b,xq;q)_n}(bx)^nq^{n^2-n}(1-axq^{2n})\\
&=\sum_{0\leq n}\frac{(a,axq/b;q)_n}{(b,xq;q)_n}(bx)^nq^{n^2-n}(1-xq^n)+\sum_{0\leq n}\frac{(a,axq/b;q)_n}{(b,xq;q)_n}(bx)^nq^{n^2-n}xq^n(1-aq^n)\\
&=\sum_{0\leq n}\frac{(a,axq/b;q)_n}{(b;q)_n(xq;q)_{n-1}}(bx)^nq^{n^2-n}+x\sum_{0\leq n}\frac{(a;q)_{n+1}(axq/b;q)_n}{(b,xq;q)_n}(bx)^nq^{n^2}\\
&=1-x+\sum_{0\leq n}\frac{(a,axq/b;q)_{n+1}}{(b;q)_{n+1}(xq;q)_{n}}(bx)^{n+1}q^{n^2+n}+x\sum_{0\leq n}\frac{(a;q)_{n+1}(axq/b;q)_n}{(b,xq;q)_n}(bx)^nq^{n^2}\\
&=1-x+x\sum_{0\leq n}\frac{(a;q)_{n+1}(axq/b;q)_n}{(b,xq;q)_n}(bx)^nq^{n^2}\left(1+\frac{bq^n(1-axq^n/b)}{1-bq^n}\right)\\
&=1-x+x\frac{1-a}{1-b}\sum_{0\leq n}\frac{(aq,axq/b;q)_n}{(bq,xq;q)_n}(bx)^nq^{n^2}(1-axq^{2n+1})\\
&=1-x+x\frac{1-a}{1-b}F(aq,bq,x)
\end{align}
よって,
\begin{align}
F(aq^n,bq^n,x)-\frac{1-aq^n}{1-bq^n}xF(aq^{n+1},bq^{n+1},x)=1-x
\end{align}
である. 両辺に$\frac{(a;q)_n}{(b;q)_n}x^n$を掛けて足し合わせると, $|x|<1$において, $\lim_{N\to\infty}\frac{(a;q)_N}{(b;q)_N}x^NF(aq^N,bq^N,x)=0$
\begin{align}
F(a,b,x)&=\sum_{0\leq n}\left(\frac{(a;q)_n}{(b;q)_n}x^nF(aq^n,bq^n,x)-\frac{(a;q)_{n+1}}{(b;q)_{n+1}}x^{n+1}F(aq^{n+1},bq^{n+1},x)\right)\\
&=(1-x)\sum_{0\leq n}\frac{(a;q)_n}{(b;q)_n}x^n
\end{align}
となって定理が示される.
\begin{align} \frac{(a;q)_{\infty}}{(b;q)_{\infty}}=\sum_{0\leq n}\frac{(a,aq/b;q)_n}{(b,q;q)_n}b^nq^{n^2-n}(1-aq^{2n}) \end{align}
\begin{align}
(1-x)\sum_{0\leq n}\frac{(a;q)_n}{(b;q)_n}x^n&=\sum_{0\leq n}\frac{(a,axq/b;q)_n}{(b,xq;q)_n}(bx)^nq^{n^2-n}(1-axq^{2n})
\end{align}
において, $x\to 1$とすると, 右辺はそのまま$x=1$が代入され, Abelの連続性定理から左辺は
\begin{align}
\lim_{x\to 1}(1-x)\sum_{0\leq n}\frac{(a;q)_n}{(b;q)_n}x^n&=1+\lim_{x\to 1}\sum_{0\leq n}\left(\frac{(a;q)_{n+1}}{(b;q)_{n+1}}-\frac{(a;q)_n}{(b;q)_n}\right)x^n\\
&=1+\sum_{0\leq n}\left(\frac{(a;q)_{n+1}}{(b;q)_{n+1}}-\frac{(a;q)_n}{(b;q)_n}\right)\\
&=1+\lim_{N\to\infty}\sum_{0\leq n< N}\left(\frac{(a;q)_{n+1}}{(b;q)_{n+1}}-\frac{(a;q)_n}{(b;q)_n}\right)\\
&=\lim_{N\to\infty}\frac{(a;q)_N}{(b;q)_N}=\frac{(a;q)_{\infty}}{(b;q)_{\infty}}
\end{align}
となる.
上の系において$b\to 0$としたときに得られる等式
\begin{align}
(a;q)_{\infty}&=\sum_{0\leq n}\frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}(-a)^nq^{\frac{3n^2-n}2}(1-aq^{2n})
\end{align}
はSilvesterの恒等式として知られており, $a=q$とするとEulerの五角数定理を得る.
