んちゃ!
今回は長編記事を書いてるやなさんが途中で面白い事を思いついたそうなのでそれについて僕が代わりに書いてみますのだ。
次の複素数列の集合$S\coloneqq\{\{a_{n}\}\subset\mathbb{C}||\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}|\lt+\infty\}$を定める。この時、$\{a_{n}\}$に対して定まる数列の集合$\mathcal{N}(\{a_{n}\})\coloneqq\{\{f_{n}\}\subset\mathbb{C}|\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}f_{n}=0\}$を定義する。
またこの集合$\mathcal{N}(\{a_{n}\})$に対して以下の演算を定める。
(i)和:$\forall \{f_{n}\},\{g_{n}\}:\in\mathbb{C}:\{f_{n}\}+\{g_{n}\}=\{f_{n}+g_{n}\}\in\mathbb{C}$
(ii)スカラー積:$\forall c\in\mathbb{C}:\forall \{f_{n}\}\in\mathbb{C}:\{cf_{n}\}\in\mathbb{C}$
すると以下の事が成り立つ。
(1)$\forall \{a_{n}\}\in\mathbb{C}:\mathcal{N}(\{a_{n}\})$はベクトル空間である事を確認せよ。
(2)$\forall \{a_{n}\}\in\mathbb{C}:\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}=\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}(1-f_{n})$が成り立つ事を証明せよ。
(3)$dim(\mathcal{N}(\{a_{n}\}))$を求めよ。
(4)$\mathcal{N}(\{a_{n}\})$を求める方法を考えよ。
数列の集合$Zero=\{\{\epsilon_{n}\}|\lim_{n\rightarrow \infty}\epsilon_{n}=0\}$を定める。
$\forall \{a_{n}\}\in S:\forall \{\epsilon_{n}\}\in Zero:\exists \{f_{n}\}\in\mathcal{N}(\{a_{n}\})\ s.t.\ \sum_{n=1}^{N}a_{n}f_{n}=\epsilon_{N}\overset{N\rightarrow\infty}\rightarrow 0$
$N=1$の場合は$a_{1}f_{1}=\epsilon_{1}$より$f_{1}=\frac{\epsilon_{1}}{a_{1}}$
また、$1\lt N$の場合は次の様に考える事が出来る。
\begin{equation}
\epsilon_{N}=\epsilon_{N-1}+a_{N}f_{N}
\end{equation}
が成り立つので$f_{N}=\frac{\epsilon_{N}-\epsilon_{N-1}}{a_{N}}$と定めればよい。
$\epsilon_{0}=0$とする。このとき、$\forall \{\epsilon_{n}\}\in Zero:$
\begin{equation}
\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1+(\epsilon_{n}-\epsilon_{n-1})n^{s}}{n^{s}}
\end{equation}
以下の様に計算を行えばいい。
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
f_{1}=\epsilon_{1}\\
f_{n}=(\epsilon_{n}-\epsilon_{n-1})n^{s}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
$M\lt N$として以下の様に記号を定める。
\begin{eqnarray}
\epsilon_{n}=\frac{\prod_{k=1}^{M}(b_{k})_{n}}{\prod_{k=1}^{N}(a_{k})_{n}}
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\epsilon_{n}-\epsilon_{n-1}&=&\epsilon_{n}\{1-\frac{\prod_{k=1}^{N}(a_{k}+n)}{\prod_{k=1}^{M}(b_{k}+n)}\}\\
&=&\epsilon_{n}\frac{\prod_{k=1}^{M}(b_{k}+n)-\prod_{k=1}^{N}(a_{k}+n)}{\prod_{k=1}^{M}(b_{k}+n)}
\end{eqnarray}
ゆえに
\begin{eqnarray}
1+(\epsilon_{n}-\epsilon_{n-1})n^{s}&=&\epsilon_{n}\{1-\frac{\prod_{k=1}^{N}(a_{k}+n)}{\prod_{k=1}^{M}(b_{k}+n)}\}\\
&=&1+\epsilon_{n}n^{s}\frac{\prod_{k=1}^{M}(b_{k}+n)-\prod_{k=1}^{N}(a_{k}+n)}{\prod_{k=1}^{M}(b_{k}+n)}\\
&=&\frac{\prod_{k=1}^{M}(b_{k}+n)+\epsilon_{n}n^{s}\{\prod_{k=1}^{M}(b_{k}+n)-\prod_{k=1}^{N}(a_{k}+n)\}}{\prod_{k=1}^{M}(b_{k}+n)}
\end{eqnarray}
結論として以下の式を得る。
\begin{eqnarray}
\zeta(s)=1+\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^{s}}\frac{\prod_{k=1}^{M}(b_{k}+n)+\epsilon_{n}n^{s}\{\prod_{k=1}^{M}(b_{k}+n)-\prod_{k=1}^{N}(a_{k}+n)\}}{\prod_{k=1}^{M}(b_{k}+n)}\end{eqnarray}