三角関数の有理式の積分に対する方法まとめ

こんちくは

こんにちは。土日の部活がある日だけ寝坊する呪いにかかってます。普通に申し訳ないから努力します。爆音アラームで寝る気をそぐという作戦です。
今回のテーマは三角関数の積分に対する考え方のまとめです。よく知っている方や、これから積分やるよなんて言う方に向けた教材チックなものです。(教材なんていいものではないかもしれませんが。まあ、ほとんど備忘録のようなものですね...)

もくじ

$\fbox{0}$基本的な公式
$\fbox{1}$公式による変形
$\fbox{2}$微分形の接触
$\fbox{3}$$t=\tan{kx}$による置換
$\fbox{4}$$\text{king\:property}$
$\fbox{5}$もう一つの積分を設定する
$\fbox{6}$複素積分(大学内容)
$\fbox{7}$発想のまとめ
$\fbox{8}$演習問題

$\fbox{0}$基本的な公式

三角関数の基本を知らないと積分なんて解けません。
最初は基本の式を理解しましょう。

この二つは基盤ですね。次に加法定理。

単位円を上手に使ったり、オイラーの公式を使っても証明できます。
まあ、積分で使うのは加法定理というより、それをもとに導かれる$n$倍角の公式と積和の公式ですけどね^^
それらをまとめておきましょう。

まあ、使うのはこれくらいでしょうか。
次に三角関数単体を微分、積分したときの形。

それでは、積分の解き方を見ていきましょう！

$\fbox{1}$公式による変形

例
\begin{align*} &[1]\int\sin^2{x}dx\\ &[2]\int\tan^2{x}dx\\ &[3]\int\cos^4{3x}\tan^2{3x}dx \end{align*}
さあ、早速公式などを用いて変形していきますよ〜
$[1]$から。2乗がなければ簡単に積分できますよね！その発想があればなんとかなるかもしれません。半角の公式は2乗を1乗に下げてくれるんでした！それを用いましょう。
\begin{align*} [1]\int\sin^2{x}dx&=\int\frac{1-\cos{2x}}{2}dx\\ &=\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin{2x}+C \end{align*}
次は$[2]$です。$\tan^2{x}$が登場する公式はありましたかね…？
実はあります。
\begin{align*} &\sin^2{x}+\cos^2{x}=1\\ &\frac{\sin^2{x}}{\cos^2{x}}+\frac{\cos^2{x}}{\cos^2{x}}=\frac{1}{\cos^2{x}}\\ &\tan^2{x}+1=\frac{1}{\cos^2{x}} \end{align*}
基本式を$\cos^2{x}$で割ればいいんですね〜。これを用いて積分を変形します。
\begin{align*} [2]\int\tan^2{x}dx&=\int\frac{1}{\cos^2{x}}-1dx\\ &=\int(\tan{x})'-1dx\\ &=\tan{x}-x+C \end{align*}
と、きれいに計算できます。
三角関数は2乗に強いと、よく言われますからね〜。2乗を見たら何かしらの変形を疑うのが良さそうです。
最後に$[3]$。$\tan{x}$を$\sin{x},\cos{x}$に書き換えましょう。
\begin{align*} [3]\int\cos^4{3x}\tan^2{3x}dx&=\int\cos^4{3x}\frac{\sin^2{3x}}{\cos^2{3x}}dx\\ &=\int\sin^2{3x}\cos^2{3x}dx\\ &=\int\frac{1}{4}(2\sin{3x}\cos{3x})^2dx\\ &=\frac{1}{4}\int\sin^2{6x}dx \end{align*}
と、少しごちゃってた式がひとまとまりになりました。$\sin^2{x}$の積分は$[1]$ですでに計算したので、ここからの過程は省略します。
\begin{align*} \int\cos^4{3x}\tan^2{3x}dx=\frac{x}{8}-\frac{1}{96}\sin{12x}+C \end{align*}
積和の公式じゃダメなの？と言う質問があるかもしれません。2乗がいるため、積を和にしてもまた厄介な形が現れてしまいます。積和を使うのは(一次)×(一次)の場合だと思ってください。これで$\fbox{1}$は終わり！

$\fbox{2}$微分形の接触

さて、高校範囲の三角関数の積分ではこれがTOP3に入るくらい重要です。
微分形の接触を狙う形としては、
\begin{align*} &\int f(\cos{x})\sin{x}dx\rightarrow \cos{x}=t\\ &\int f(\sin{x})\cos{x}dx\rightarrow\sin{x}=t\\ &\int f(\tan{x})\frac{1}{\cos^2{x}}dx\rightarrow \tan{x}=t \end{align*}
のどれかです。
例
\begin{align*} &[1]\int\tan{x}dx\\ &[2]\int\frac{1}{\cos{x}}dx\\ &[3]\int\frac{\sin{x}}{\cos^3{x}}dx \end{align*}
さ、解いてみましょ～。
$[1]$は$\tan{x}$を$\sin{x},\cos{x}$に書き換えると見えてきます。
\begin{align*} [1]\int\tan{x}dx&=\int\frac{\sin{x}}{\cos{x}}dx \end{align*}
お、出てきましたね。$f(\cos{x})\sin{x}$の形です。ここで
\begin{align*} \cos{x}=t \end{align*}
と置くと、
\begin{align*} \sin{x}dx=-dt \end{align*}
となります。これがうれしいんですね！$\sin{x}$ごと$-dt$に変わってくれます。
この置換を適用すると、
\begin{align*} [1]\int\tan{x}dx&=\int\frac{-dt}{t}\\ &=-\ln|t|+C\\ &=-\ln|\cos{x}|+C \end{align*}
と、$(*)$を証明できましたね。
次に$[2]$このままだと何も見えませんね。とある操作をすると見やすくなります。
分母分子に$\cos{x}$をかけましょう！
\begin{align*} [2]\int\frac{1}{\cos{x}}dx&=\int\frac{\cos{x}}{\cos^2{x}}dx \end{align*}
ここで、$\cos^2{x}=1-\sin^2{x}$を使うと
\begin{align*} [2]\int\frac{1}{\cos{x}}dx&=\int\frac{\cos{x}}{1-\sin^2{x}}dx \end{align*}
出てきましたね！$f(\sin{x})\cos{x}$です。$\sin{x}=t$と置換しましょう。すると、
$\cos{x}dx=dt.$
これを適用すると、
\begin{align*} [2]\int\frac{1}{\cos{x}}dx&=\int\frac{1}{1-t^2}dt \end{align*}
これは部分分数分解すれば解けますね。計算すると、
\begin{align*} [2]\int\frac{1}{\cos{x}}dx&=\frac{1}{2}\int\frac{1}{t+1}-\frac{1}{t-1}dt\\ &=\frac{1}{2}\ln\left|\frac{t+1}{t-1}\right|+C\\ &=\frac{1}{2}\ln\left|\frac{\sin{x}+1}{\sin{x}-1}\right|+C \end{align*}
すこしごちゃごちゃしていますが、計算できましたね～
最後に$[3]$。
分母にいる3乗が嫌すぎますね。三角関数は2乗に強いんでした。それに従ってばらしてみましょう。
\begin{align*} [3]\int\frac{\sin{x}}{\cos^3{x}}dx&=\int\frac{\sin{x}}{\cos{x}\cdot\cos^2{x}}dx\\ &=\int\tan{x}\frac{1}{\cos^2{x}}dx \end{align*}
なんか見えてきましたね。$f(\tan{x})\dfrac{1}{\cos^2{x}}$の形ですよ！！なので$\tan{x}=t$と置きます。すると、
$\dfrac{1}{\cos^2{x}}dx=dt$
となるため、これを適用すると
\begin{align*} [3]\int\frac{\sin{x}}{\cos^3{x}}dx&=\int tdt\\ &=\frac{1}{2}t^2+C\\ &=\frac{1}{2}\tan^2{x}+C \end{align*}
と、うまく計算できました。
微分形の接触はおそらくこれ以外にも山ほどあると思います。
これに気づかないと詰むような積分もあるため、三角関数の積分を目にしたときは常に疑いましょう。

$\fbox{3}$$t=\tan{kx}$による置換

この、$k=\dfrac{1}{2}$がとても有名ですよね。
「$\text{Weierstraß}$置換」や「正接半角置換」と呼ばれているものです。この置換をすると何がいいのか？今からお見せします。
\begin{align*} t=\tan\frac{x}{2} \end{align*}
とすると、
\begin{align*} t^2+1&=\frac{1}{\cos^2{\frac{x}{2}}}\\ &=\frac{2}{1+\cos{x}}\\ \frac{1}{1+t^2}&=\frac{1+\cos{x}}{2}\\ \cos{x}&=\frac{1-t^2}{1+t^2} \end{align*}
これをもとに
\begin{align*} \sin{x}&=\frac{2t}{1+t^2} \end{align*}
また、
\begin{align*} dt&=\frac{1}{2}\frac{1}{\cos^2{\frac{x}{2}}}dx\\ &=\frac{1}{2}(1+t^2)dx\\ dx&=\frac{2}{1+t^2}dt \end{align*}
以上をまとめると、
\begin{align*} &t=\tan{\frac{x}{2}}\\ &\downarrow\\ &\sin{x}=\frac{2t}{1+t^2}\\ &\cos{x}=\frac{1-t^2}{1+t^2}\\ &dx=\frac{2}{1+t^2}dt \end{align*}
となります。どうですか？三角関数の式が$t$の有理式へと早変わりしました。これほどうれしいこともないですよね！
また、$t=\tan{kx}$でもう一つ使うのは、$k=1$です。$k=\dfrac{1}{2}$では三角関数の1次式が$t$の式で表されましたが、$k=1$のときは三角関数の二乗が$t$の「とても簡明な」式で表されます。実際に見てみましょう。
\begin{align*} &t=\tan{x}\\ &\downarrow\\ &\sin^2{x}=\frac{t^2}{1+t^2}\\ &\cos^2{x}=\frac{1}{1+t^2}\\ &dx=\frac{1}{1+t^2}dt \end{align*}
素晴らしいと思いませんか？分子が単項式のため、この置換は偶数乗に対して有効です。以上をまとめましょう。

これを使っていくつかの例を解いてみましょう。
例
\begin{align*} &[1]\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin{x}+1}{\sin{x}+\cos{x}+1}dx\\ &[2]\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{2\cos^2{x}+1}dx\\ &[3]\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{\sin^4{x}}{\sin^4{x}+\cos^4{x}}dx \end{align*}
見た目がいかつくなってきましたね～。
まずは$[1]$から。三角関数の1次式なので、$t=\tan\dfrac{x}{2}$と置きましょう。
積分区間に注意すると、
\begin{align*} [1]\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin{x}+1}{\sin{x}+\cos{x}+1}dx&=\int_{0}^{1}\frac{\frac{2t+1+t^2}{1+t^2}}{\frac{2t+1-t^2+1+t^2}{1+t^2}}\frac{2}{1+t^2}dt\\ &=\int_{0}^{1}\frac{1+t}{1+t^2}dt\\ &=\frac{\pi}{4}+\frac{1}{2}\ln{2} \end{align*}
と、複雑な三角関数の式がとても簡単な分数式に化けて、一瞬でしたね！
次！$[2]$三角関数の2次式で構成されているため、$t=\tan{x}$と置きましょう。
積分区間に注意すると、
\begin{align*} [2]\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{2\cos^2{x}+1}dx&=\int_{0}^{1}\frac{1}{\frac{2+1+t^2}{1+t^2}}\frac{1}{1+t^2}dt\\ &=\int_{0}^{1}\frac{1}{t^2+3}dt \end{align*}
この積分は$t=\sqrt{3}\tan{\theta}$と置けば簡単に求まりますね。過程は省略します。
\begin{align*} [2]\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{2\cos^2{x}+1}dx=\frac{\pi}{6\sqrt{3}} \end{align*}
さて、最後。$[3]$はシンプルにめんどくさい積分として有名です。偶数乗で構成されているため、$t=\tan{x}$と置きます。ここで間違えても$t=\tan{\dfrac{x}{2}}$と置いてはいけません。地獄を見ます。(1敗)積分区間に注意すると、
\begin{align*} [3]\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{\sin^4{x}}{\sin^4{x}+\cos^4{x}}dx&=\int_{0}^{1}\frac{\frac{t^4}{(1+t^2)^2}}{\frac{t^4+1}{(1+t^2)^2}}\frac{1}{1+t^2}dt\\ &=\int_{0}^{1}\frac{t^4}{(1+t^4)(1+t^2)dt} \end{align*}
まじでやりたくない積分が出てきましたね。根性で部分分数分解しましょう。
\begin{align*} \frac{t^4}{(1+t^4)(1+t^2)}=\frac{\alpha t^3+\beta t^2+\gamma t+\delta}{1+t^4}+\frac{\varepsilon t+\zeta}{1+t^2} \end{align*}
と置き連立方程式を解くと
\begin{align*} \frac{t^4}{(1+t^4)(1+t^2)}=\frac{1}{2}\frac{-1+t^2}{1+t^4}+\frac{1}{2}\frac{1}{1+t^2} \end{align*}
よって
\begin{align*} [3]\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{\sin^4{x}}{\sin^4{x}+\cos^4{x}}dx&=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\frac{-1+t^2}{1+t^4}dt+\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\frac{1}{1+t^2}dt \end{align*}
二項目はいいとして、一項目が問題児すぎますね。$1+t^4=(t^2+\sqrt{2}t+1)(t^2-\sqrt{2}t+1)$を用いて再度部分分数分解すれば解けます。実際の計算は読者への課題とし、ここには結果のみを記すことにします^^
\begin{align*} [3]\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{\sin^4{x}}{\sin^4{x}+\cos^4{x}}dx&=\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{2}}\ln(\sqrt{2}-1)+\frac{1}{2}\frac{\pi}{4}\\ &=\frac{1}{2\sqrt{2}}\ln(\sqrt{2}-1)+\frac{\pi}{8} \end{align*}
と、めんどくさくはありますが、置換後三角関数が非常に簡明なtの式に変わるため、まだ解きやすいですね。

$\fbox{4}$$\text{king\:property}$

有名すぎますね。ヨビノリさんの動画や積分サークルさんの動画にいくつもあります。

証明は簡単なため、読者への課題とします。さて、こんな変形が出来て何がうれしいのでしょうか。
基本的には、このテクニックは三角関数の積分で効果を発揮します。なぜならこんな性質があるから。
\begin{align*} &\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos{x}\\ &\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin{x}\\ &\tan\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{\tan{x}}\\ &\tan\left(\frac{\pi}{4}-x\right)=\frac{1-\tan{x}}{1+\tan{x}} \end{align*}
これらを巧みに使うことで積分が思いのほか簡単になります。
おそらく、あまりイメージがついていないと思うので例を解きましょう。
例
\begin{align*} &[1]\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin{x}}{\sin{x}+\cos{x}}dx\\ &[2]\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin^2{x}}{1+e^{x}}dx\\ &[3]\int_{0}^{1}\frac{\ln(1+x)}{1+x^2}dx \end{align*}
$[1]$から。この積分を$I$と置き、$\text{king\:property}$を使ってみましょう。
\begin{align*} I&=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin{x}}{\sin{x}+\cos{x}}dx\\ &=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin(\frac{\pi}{2}-x)}{\sin(\frac{\pi}{2}-x)+\cos(\frac{\pi}{2}-x)}dx\\ &=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos{x}}{\sin{x}+\cos{x}}dx\\ 2I&=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin{x}}{\sin{x}+\cos{x}}+\frac{\cos{x}}{\sin{x}+\cos{x}}dx\\ &=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}dx\\ &=\frac{\pi}{2}\\ \therefore I&=\frac{\pi}{4} \end{align*}
とてもきれいに約分されましたね！ちなみにこの積分はこれ以外にも解き方は複数存在します。意欲のある読者は探してみてください。
次、$[2]$です。先ほどと同様に$\text{king\:property}$を使いましょう。
\begin{align*} I&=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin^2{x}}{1+e^{x}}dx\\ &=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin^2(-x)}{1+e^{-x}}dx\\ &=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{e^{x}\sin^2{x}}{1+e^{x}}dx\\ 2I&=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin^2{x}+e^{x}\sin^2{x}}{1+e^{x}}dx\\ &=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin^2{x}(1+e^{x})}{1+e^{x}}dx\\ &=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\sin^2{x}dx\\ &=2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^2{x}dx \end{align*}
さて、また$\text{king\:property}$を使ってみましょう^^
\begin{align*} 2I&=2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^2{x}dx\\ &=2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^2\left(\frac{\pi}{2}-x\right)dx\\ &=2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^2{x}dx\\ 4I&=2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^2{x}+\cos^2{x}dx\\ &=2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}dx\\ &=\pi\\ \therefore I&=\frac{\pi}{4} \end{align*}
と、これもまたきれいに約分され、計算できました！二回目の$\text{king\:property}$はほとんどお遊びですが...^^まあ、こういう解き方もあるよっていうちょっとしてお話でした。
最後に$[3]$をやりましょう。この積分はこの形のまま$\text{king\:property}$をしてもおそらくいいことはありません。分母に$1+x^2$がいるので、$x=\tan{\theta}$と置換しまししょう。置換した形から計算を始めます。
\begin{align*} I&=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{\ln(1+\tan{\theta})}{1+\tan^2{\theta}}(1+\tan^2{\theta})d\theta\\ &=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\ln(1+\tan{\theta})d\theta \end{align*}
今です！$\text{king\:property}$を使いましょう！
\begin{align*} I&=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\ln\left\{1+\tan\left(\frac{\pi}{4}-\theta\right)\right\}d\theta\\ &=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\ln\left(1+\frac{1-\tan{\theta}}{1+\tan{\theta}}\right)d\theta\\ &=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\ln\left(\frac{2}{1+\tan{\theta}}\right)d\theta\\ 2I&=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\ln(1+\tan{\theta})+\ln\left(\frac{2}{1+\tan{\theta}}\right)d\theta\\ &=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\ln\left(\frac{2(1+\tan{\theta})}{1+\tan\theta}\right)d\theta\\ &=\ln{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}d\theta\\ &=\frac{\pi}{4}\ln{2}\\ \therefore I&=\frac{\pi}{8}\ln{2} \end{align*}
と、求まりました。$\tan{x}$が出てきても怖けずに$\text{king\:prperty}$をするのが大事だったりします。積分は試行錯誤の繰り返しで解くものですからね～。以上、$\text{king\:property}$でした。

$\fbox{5}$もう一つの積分を設定する

正直、これを使う問題を僕は一つしか知りません。それがこれ。
\begin{align*} I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin{x}}{\sin{x}+\sqrt{5}\cos{x}}dx \end{align*}
まあ、三角関数の係数はお好きにして大丈夫です。
ぱっと見、この積分は$\text{king\:property}$が使えそうですよね。しかし、分母の係数に$\sqrt{5}$がいるせいで意味がありません。そこで、この章のタイトルにもある通り、もう一つの積分を利用します。
このとき、自分でその都合の良い積分を設定する必要があります。まあ、その場のノリでできるので心配はいらないと思います。ここでは次のような積分を設定します。
\begin{align*} J&=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos{x}}{\sin{x}+\sqrt{5}\cos{x}}dx \end{align*}
この$I,J$の連立方程式を立てる算段です。まず、
\begin{align*} I+\sqrt{5}J&=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin{x}+\sqrt{5}\cos{x}}{\sin{x}+\sqrt{5}\cos{x}}dx\\ &=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}dx\\ &=\frac{\pi}{2} \end{align*}
これを思い浮かべながら$J$を設定するのがコツだったりします。
さて、連立方程式にするのでもう一つ式が必要です。そこで、次のような式を考えましょう。
\begin{align*} -\sqrt{5}I+J&=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos{x}-\sqrt{5}\sin{x}}{\sin{x}+\sqrt{5}\cos{x}}dx\\ &=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{(\sin{x}+\sqrt{5}\cos{x})'}{\sin{x}+\sqrt{5}\cos{x}}dx\\ &=\left[\ln|\sin{x}+\sqrt{5}\cos{x}|\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}\\ &=-\frac{1}{2}\ln{5} \end{align*}
係数を合わせて無理矢理微分形に持ち込むという少々天下りな考え方に見えますが、仕方がありません。一つのテクニックとして頭に入れておきましょう。さて、これで連立方程式が立てられますね！
\begin{align*} \begin{cases} I+\sqrt{5}J=\dfrac{\pi}{2}\\ -\sqrt{5}I+J=-\dfrac{1}{2}\ln{5} \end{cases} \end{align*}
この連立方程式は簡単なため、解く過程は省略します。実際に計算して解くと
\begin{align*} I&=\frac{\pi}{12}-\frac{\sqrt{5}}{12}\ln{5}\\ J&=\frac{5}{12}\pi+\frac{\sqrt{5}}{12}\ln{5} \end{align*}
ほしかったのは$I$でしたね。これで
\begin{align*} I&=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin{x}}{\sin{x}+\sqrt{5}\cos{x}}dx=\frac{\pi}{12}-\frac{\sqrt{5}}{12}\ln{5} \end{align*}
と分かりました。
($t=\tan\dfrac{x}{2}$を使ってもいいですが、今回は係数に無理数があるためお勧めしません。整数の場合は有効かもしれませんね～。まあ、ペアの積分を設定した方が早いとは思いますが...)

$\fbox{6}$複素積分(大学内容)

正直、これを使わないと解けない問題は高校や大学入試では出ないでしょうが、知っていて損はないと思います。大学の範囲ですが、計算自体とても簡単ですし...
複素積分とは言いますが、実際に使うのは留数定理ですね。

証明を軽く流しておきましょう。

さて、実際に例を見てみましょう。
例
\begin{align*} &[1]\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{13+5\cos{x}}dx\\ &[2]\int_{0}^{2\pi}\frac{\cos{3x}}{5-4\cos{x}}dx \end{align*}
さて、どのように解くのでしょうか。「三角関数の積分で留数定理を使いたい」なら
\begin{align*} e^{ix}=z \end{align*}
と置きましょう。オイラーの公式より、三角関数が$z$の簡単な式としてあらわされます。

これを使うと、
\begin{align*} &\sin{z}=\frac{1}{2i}\left(z-\frac{1}{z}\right)\\ &\cos{z}=\frac{1}{2}\left(z+\frac{1}{z}\right) \end{align*}
と
なります。これを用いて積分を変形しましょ～。まず、その前に積分区間と$dx$と$dz$の関係を調べなければいけませんね。
積分区間は$[0,2\pi]$だったのが$|z|=1$へと変わります。$e^{ix}$が$0\le x\le2\pi$なので単位円一週分の周回積分になるんですね～。
次に$dx$と$dz$の関係。両辺全微分してみましょう。すると、
\begin{align*} ie^{ix}dx&=dz\\ dx&=\frac{dz}{ie^{ix}}\\ &=\frac{dz}{iz} \end{align*}
これらを積分に適用しましょう。$[1]$から。
\begin{align*} [1]\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{13+5\cos{x}}dx&=\oint_{|z|=1}\frac{1}{13+\frac{5}{2}\left(z+\frac{1}{z}\right)}\frac{1}{iz}dz\\ &=\frac{2}{i}\oint_{|z|=1}\frac{1}{5z^2+26z+5}dz\\ &=\frac{2}{i}\oint_{|z|=1}\frac{1}{(5z+1)(z+5)}dz \end{align*}
さ、やりましょう。留数定理より、
\begin{align*} [1]\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{13+5\cos{x}}dx&=\frac{4}{5}\pi\text{Res}\left(f,-\frac{1}{5}\right)\\ &=\frac{4}{5}\pi\lim_{z\to-\frac{1}{5}}\frac{1}{z+5}\\ &=\frac{4}{5}\pi\frac{5}{24}\\ &=\frac{\pi}{6} \end{align*}
最後、$[2]$です。
\begin{align*} [2]\int_{0}^{2\pi}\frac{\cos{3x}}{5-4\cos{x}}dx \end{align*}
ここで、$\cos{x}=\Re(e^{ix})$を使って積分を変形します。
\begin{align*} [2]\int_{0}^{2\pi}\frac{\cos{3x}}{5-4\cos{x}}dx&=\Re\int_{0}^{2\pi}\frac{e^{3ix}}{5-4\cos{x}}dx \end{align*}
これで先ほどの置換を行うと、
\begin{align*} [2]\int_{0}^{2\pi}\frac{\cos{3x}}{5-4\cos{x}}dx&=\Re\frac{1}{i}\oint_{|z|=1}\frac{z^3}{5z-2z^2-2}dz\\ &=\Re i\oint_{|z|=1}\frac{z^3}{2z^2-5z+2}dz\\ &=\Re i\oint_{|z|=1}\frac{z^3}{(2z-1)(z-2)}dz\\ &=\Re-\pi\Res(f,\frac{1}{2})\\ &=\Re-\pi\lim_{z\to\frac{1}{2}}\frac{z^3}{z-2}\\ &=\pi\frac{1}{8}\frac{2}{3}\\ &=\frac{\pi}{12} \end{align*}
と計算できました！留数定理は強力ですね。

$\fbox{7}$発想のまとめ

$\fbox{1}$公式による変形

2乗が出てきたら何かしらの変形を疑う。
また、基本的な公式
\begin{align*} &\tan{x}=\frac{\sin{x}}{\cos{x}}\\ &\sin{2x}=2\sin{x}\cos{x} \end{align*}
その他三倍角や積和の公式などを用いた変形も考える。

$\fbox{2}$微分形の接触

\begin{align*} &\int f(\sin{x})\cos{x}dx\rightarrow\sin{x}=t\\ &\int f(\cos{x})\sin{x}dx\rightarrow\cos{x}=t\\ &\int f(\tan{x})\frac{1}{\cos^2{x}}dx\rightarrow\tan{x}=t \end{align*}
上記のような置換をすることで、$dx$が$\sin{x}$や$\cos{x}$、$\dfrac{1}{\cos^2{x}}$を巻き込んで$dt$に変わるため、被積分関数が$t$の簡単な式になることが期待できる。

$\fbox{3}$$t=\tan{kx}$による置換

被積分関数に三角関数の1次式が主に居座っているとき
\begin{align*} t=\tan\frac{x}{2} \end{align*}
と置くと、
\begin{align*} &\sin{x}=\frac{2t}{1+t^2}\\ &\cos{x}=\frac{1-t^2}{1+t^2}\\ &dx=\frac{2}{1+t^2}dt \end{align*}
となる。

また、被積分関数が三角関数の偶数乗で構成されているとき
\begin{align*} t=\tan{x} \end{align*}
と置くと、
\begin{align*} &\sin^2{x}=\frac{t^2}{1+t^2}\\ &\cos^2{x}=\frac{1}{1+t^2}\\ &dx=\frac{1}{1+t^2}dt \end{align*}
となる。ただし、この$t=\tan{x}$と置いた時、積分区間が$[0,\infty]$などの広義積分になってしまい、正式には高校の範囲でなくなることがある。この時は別の方法を探そう。

$\fbox{4}$$\text{king\:property}$

\begin{align*} I=\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{b}f(a+b-x)dx \end{align*}
よって
\begin{align*} I=\frac{1}{2}\int_{a}^{b}f(x)+f(a+b-x)dx \end{align*}
この$f(x)+f(a+b-x)$が簡単な形になることを願う変形である。

$\fbox{5}$もう一つの積分を設定する

$\text{king\:property}$が使えそうで使えない形を見たときに有効。$I $とは異なる積分$J$を用意して、その2つに関して連立方程式を立てればよい。

$\fbox{6}$複素積分(大学内容)

三角関数のべき乗が分子にいるなら、$e^{nix}$で処理してから、$e^{ix}=z$と置換する。

$\fbox{8}$演習問題

\begin{align*} &[1]\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin{6x}\cos{4x}dx\\ &[2]\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}4\sin{x}\cos^2{x}-\sin{x}dx\\ &[3]\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin{2x}}{\sin^2{x}+1}dx\\ &[4]\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{\sin^2{x}+3\cos^2{x}}dx\\ &[5]\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{\sin^2{x}+\cos^4{x}}dx\\ &[6]\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{\sin{x}+\cos{x}+1}dx\\ &[7]\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{x}{\sin{x}+\cos{x}+1}dx\\ &[8]\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{x^2\cos{x}}{1+e^{\sin{x}}}dx\\ &[9]\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin{x}}{\sqrt{2}\sin{x}+\sqrt{3}\cos{x}}dx\\ &[10]\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{a+\cos^2{x}}dx\quad(a\in\mathbb{R}_{>0})\\ \end{align*}

おわり

いやあ。疲れました。初めてこんな教材チックなものを書いてみましたが、この範囲に関しては自分の理解はよく行き届いていることを確認出来て良かったです。気が向いたらまた別タイプの積分でこのまとめ的なものを作るかもしれません。
最後に。誤植、問題不備はおそらく$0$ではありません。見つけ次第コメントでびしっとお願いします。
ほな、さいなら！