三角不等式を場合分けなしで示したい！
こんちわ よねです
タイトル通りのことをやります．
記事がものすごく短くなりそうなので割と厳密に示していきます．
正直自明な補題をかなり示していくので補題のくだりは読み飛ばしていっても構いません．
証明
まず，絶対値は以下のように定義されます．
$$ \left|x \right| =\max \{x,-x\} $$
次の補題を示していきます．
最大値を持つ集合$A,B$と実数$x$について以下が成り立つ．
$(1)$ $ A \subset B \Longrightarrow \max A \leq \max B $
$(2)$ $\max (A \cup B)= \max \{\max A , \max B\}$
$(3)$ $(\max A)+x =\max (A+x)$
ただし，$A+x=\{a+x \ | \ a \in A\}$とする．
$(1)$ $\max A \gt \max B$と仮定する．$\max A=M_{A}, \max B= M_{B}$とすると任意の$B$の元$ b$に対して$b \leq M_{B}(\lt M_{A})$またこれは$M_{A} \in A$かつ$A\subset B$より$M_{A} \in B$であることに矛盾するから $\max A \leq \max B$
$(2)$ $ \max \{\max A , \max B\}=M$とする．
任意の$x \in A \cup B$をとる．
$x \in A$のとき$x \leq \max A \leq M$
$x \not\in A$のとき$x \in B$より$x \leq \max B \leq M$
以上より常に$x\leq M$
$M$は$\max A$または$\max B$と一致する．
ゆえに$M$は$A$あるいは$B$の元．
よって$M \in A \cup B$．
以上より$M$が$A \cup B$の最大値であるから
$$\max (A \cup B)= \max \{\max A , \max B\}(=M)$$
$(3)$ $M_{A}=\max A$とする．
任意の$a\in A$に対して$a \leq M_A$より$a+x \leq M_A +x$
さらに$a \in A$より$a+x \in (A+x)$より$\max (A+x) = M_A+x$
よって$(\max A)+x =\max (A+x)$
それでは以上の補題を存分に使って以下の三角不等式を示してみよう！
任意の実数$x,y$に対して以下が成立する．
$$ \left| x+y \right| \leq \left|x \right| +\left| y \right|$$
任意の実数$x,y$に対して
$$
\begin{aligned}
\left| x+y \right| &= \max \{x+y, -x-y \} \\
&\leq \max \{x+y ,-x+y,x-y,-x-y\} \quad ( \because \text{補題1(1)} )\\
&= \max \{\max\{x+y,-x+y\} , \max\{x-y,-x-y\}\} \quad (\because \text{補題1(2)}) \\
&= \max \{\max\{x,-x\}+y , \max \{x,-x\}-y\}\quad (\because \text{補題1(3)}) \\
&= \max \{\left|x\right| +y, \left|x \right| -y\}\\
&= \left|x\right|+\max \{y,-y\} \quad (\because \text{補題1(3)})\\
&=\left| x \right|+ \left| y \right|
\end{aligned}
$$
よって題意は示された．
終わり！！！
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