一般化されたVerma加群(の定義)
0. はじめに, Verma加群の復習
(この記事は, 基本的にはmatsumoto, matsumoto2を参考に書いています. )
($\mathbb C$上)半単純Lie代数
\begin{align}
\mathfrak g&=\overline{\mathfrak n}\oplus\mathfrak h \oplus\mathfrak n,\\
\mathfrak n&:=\bigoplus_{\alpha\in\Delta^+}\mathfrak g_\alpha,\\
\overline{\mathfrak n}&:=\bigoplus_{\alpha\in\Delta^+}\mathfrak g_{-\alpha}
\end{align}
と, weight$\lambda\in\mathfrak h^*$が与えられたとき, Borel部分代数
\begin{align}
\mathfrak b:=\mathfrak h \oplus\mathfrak n
\end{align}
の1次元表現$\mathbb C_\lambda$を考えることができる. すなわち, $\mathfrak b$の$\mathbb C_\lambda$への作用を, $v\in\mathbb C_\lambda,\ H\in\mathfrak h,\ X\in\mathfrak n$として
\begin{align}
H\cdot v:=\lambda(H)v,\quad X\cdot v:=0
\end{align}
と定義すると, これは表現となる. ここでVerma加群とは, $\mathfrak b$の表現$\mathbb C_\lambda$から誘導された$\mathfrak g$の表現のことである. つまり,
\begin{align}
M(\lambda):=\mathrm{Ind}_{\mathfrak b}^{\mathfrak g}\mathbb C_\lambda=U(\mathfrak g)\otimes_{U(\mathfrak b)}\mathbb C_\lambda
\end{align}
のことである($U(\mathfrak g)$は, $\mathfrak g$の普遍包絡環を意味する). ここで得られたVerma加群$M(\lambda)$を, 極大真部分加群で割ることで, 最高weightが$\lambda$の既約表現$L(\lambda)$を得ることができる.
この記事では, 一般化されたVerma加群の構成を見る.
1. Notations
- 直和記号$\oplus$は, 断りがない限りベクトル空間としての直和の意味で用いる.
- Lie代数というと, 断りがない限り$\mathbb C$上の半単純Lie代数を意味し, $\mathfrak g, \mathfrak h$はそれぞれLie代数, $\mathfrak g$のCartan部分代数とする.
- $\mathfrak g$の三角分解は, 第0章で見たように$\overline{\mathfrak n}\oplus\mathfrak h \oplus\mathfrak n$で表す.
- 単純ルートの集合を$\Pi$とかく.
- $\alpha\in\Delta$に対して,
\begin{align} \alpha^\vee:=\frac{2\alpha}{\langle\alpha,\alpha\rangle} \end{align}
とする(双対ルート).
2. Lepowskyによる, 一般化されたVerma加群
$\Theta\subset\Pi$を固定し,
\begin{align}
\overline\Theta:=\{\alpha\in\Delta\mid \alpha\in\mathrm{Span}_{\mathbb Z}\langle\Theta\rangle\}
\end{align}
とする. このとき
\begin{align}
\mathfrak a_\Theta&:=\{H\in\mathfrak h\mid\forall \alpha\in\Theta,\ \alpha(H)=0\},\\
\mathfrak l_\Theta&:=\mathfrak h\oplus\bigoplus_{\alpha\in\overline\Theta}\mathfrak g_\alpha,\\
\mathfrak n_\Theta&:=\bigoplus_{\alpha\in\Delta^+\setminus\overline\Theta}\mathfrak g_\alpha,\\
\overline{\mathfrak n}_\Theta&:=\bigoplus_{\alpha\in\Delta^+\setminus\overline\Theta}\mathfrak g_{-\alpha},\\
\mathfrak p_\Theta&:=\mathfrak l_\Theta\oplus\mathfrak n_\Theta
\end{align}
と定義する. ここで, $\mathfrak p_\Theta$を$\mathfrak g$の放物型部分代数という.
- $\mathfrak a_\Theta$は$\mathfrak l_\Theta$の中心である. さらに, $\mathfrak l_\Theta$は簡約Lie代数となる. ここで, $\Theta$とは$\mathfrak l_\Theta$の半単純部分の基本形(単純ルートの集合)となる.
- $\mathfrak p_\Theta$は冪零根基$\mathfrak n_\Theta$とLevi部分$\mathfrak l_\Theta$に分解される.
以上の定義からわかるように, 三角分解のような分解
\begin{align}
\mathfrak g=\overline{\mathfrak n}_\Theta\oplus\mathfrak l_\Theta\oplus\mathfrak n_\Theta
\end{align}
や, Borel部分代数のような部分代数
\begin{align}
\mathfrak p_\Theta(\supset \mathfrak b)
\end{align}
を得た.
特に$\Theta=\emptyset$のときに
\begin{align}
\mathfrak a_\Theta&=\mathfrak l_\Theta=\mathfrak h,\\
\mathfrak n_\Theta&=\mathfrak n,\quad \overline{\mathfrak n}_\Theta=\overline{\mathfrak n},\\
\mathfrak p_\Theta&=\mathfrak b
\end{align}
が成り立つ.
注意で見たように, $\mathfrak l_\Theta$は簡約である(つまり中心部分と半単純部分の直和になる). よって, $\mathfrak l_\Theta$の半単純部分のVerma加群を用いて作られた有限次元既約表現を用いて, それを全体の表現に誘導するというアイデアにより, 以下で定義される一般化されたVerma加群が得られる.
$\lambda\in\mathfrak h^*$が任意の$\alpha\in\Theta$に対して
\begin{align}
\langle \lambda,\alpha^\vee\rangle\in\mathbb Z_{\geqq 0}
\end{align}
となるとき, $\mathfrak l_\Theta$の, $\lambda$を最高weightとして持つ有限次元既約表現を$\sigma_\Theta(\lambda)$, その表現の表現空間を$E_\Theta(\lambda)$とする. この表現を, $\mathfrak n_\Theta$の作用が$0$として作用するとして$\mathfrak p_\Theta$の表現とみなすと, 一般化されたVerma加群(generalized Verma module)とは
\begin{align}
M_\Theta(\lambda):=\mathrm{Ind}_{\mathfrak p_\Theta}^{\mathfrak g}E_\Theta(\lambda)=U(\mathfrak g)\otimes_{U(\mathfrak p_\Theta)}E_\Theta(\lambda)
\end{align}
をいう.
最後に, 一般化されたVerma加群が, ちゃんとVerma加群の''一般化''になっていることをみる.
$\Theta=\emptyset$のときに, 一般化されたVerma加群を考える. このとき任意の$\lambda\in\mathfrak h^*$に対して,
''$\text{任意の }\alpha\in\Theta=\emptyset\text{ に対して }\langle \lambda,\alpha^\vee\rangle\in\mathbb Z_{\geqq 0}$''
は空虚な真として成立する. このとき$\mathfrak l_\Theta=\mathfrak h$の, $\lambda$を最高weightとして持つ有限次元既約表現は$1$次元表現であるので, これを$\mathbb C_\lambda$とおく. これを用いて作られた一般化されたVerma加群は, 第0章で議論したVerma加群と一致する.
4. おわりに
ここでの議論は, (basicな)Lie super代数の場合に応用が可能である. 誤解を恐れずに解説すると, $\mathfrak l_\Theta,\mathfrak n_\Theta,\overline{\mathfrak n}_\Theta$に対応するものとして$\mathfrak g_{\overline 0},\mathfrak g_{\overline 1}^+,\mathfrak g_{\overline 1}^-$を考えて, super版の一般化Verma加群(Kac加群と呼ばれるLie_superalg)を考えればよい. あとは極大真部分加群で割れば既約表現が得られる.
(この記事は, 細部まで確認ができていない部分があると思いますので, 間違いがあればご指摘お願いいたします. )
