シンプレクティック幾何と代数幾何の両方から見るトーリック幾何

1. イントロ

トーリック幾何には，シンプレクティック幾何を使ったトーリック幾何と複素代数幾何を使ったトーリック幾何の2つの理論がある．前者と後者のそれぞれを概説し，最後に，両者がどのように関係するのかを見る．前提知識としては，シンプレクティック幾何と代数幾何の基本的な部分は仮定するが，トーリック幾何の知識は仮定しない．

Notation

$T^n:=(S^1)^n=(\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z})^n$
$\mathbb{C}^\times:=\mathbb{C}\setminus\{0\}$
$N:$階数$n$の自由$\mathbb{Z}$-加群
$M:=\mathrm{Hom}_{\mathbb{Z}}(N,\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}^n$
$N_\mathbb{R}:=N\otimes_{\mathbb{Z}}\mathbb{R}\cong\mathbb{R}^n$
$M_\mathbb{R}:=M\otimes_{\mathbb{Z}}\mathbb{R}\cong\mathbb{R}^n$
また，polytopeとは，$\{(x_1,\dots,x_n)\in\mathbb{R}^n\mid a_1x_1+\cdots+a_nx_n\leq b\}$という形の部分空間の有限個の共通部分のこととする．つまり，ここでは有界性を仮定しない．

2. シンプレクティック幾何から見るトーリック幾何

シンプレクティックトーリック多様体(symplectic toric manifold)とは，$2n$次元シンプレクティック多様体$(X,\omega)$であって，$n$次元トーラス$T^n$の効果的なハミルトン作用をもつもの．

作用$\rho:T^n\times X\to X$が効果的(effective)であるとは，写像$\rho:T^n\to\mathrm{Diff}(X)$が単射であること．

作用$\rho:T^n\times X\to X$がハミルトン作用であることの定義により，$X$上のmoment map$\mu:X\to\mathbb{R}^n$が存在する．このmoment map$\mu$のとり方は一意的ではないが，定数$c\in\mathbb{R}^n$の差を除いて一意的に定まる．

シンプレクティックトーリック多様体といったら，正確には，作用$\rho$やmoment map$\mu$も含めた組$(X,\omega,T^n,\rho,\mu)$を指すが，たんに$(X,\omega)$と略記する．

シンプレクティック多様体$(S^2,\omega_{std})$へのトーラス作用として$z$軸まわりの回転による$T^1$-作用$\rho:T^1\times S^2\to S^2$を考える．これのmoment mapは$\mu:S^2\to\mathbb{R},(x,y,z)\mapsto z$である．

シンプレクティック多様体$(\mathbb{C}^n,\omega_{std})$へのトーラス作用$\rho:T^n\times\mathbb{C}^n\to\mathbb{C}^n,((t_1,\dots,t_n),(z_1,\dots,z_n))\mapsto(e^{it_1}z_1,\dots,e^{it_n}z_n)$を考える．これのmoment mapは$\mu:\mathbb{C}^n\to\mathbb{R}^n,(z_1,\dots,z_n)\mapsto(\frac{1}{2}|z_1|^2,\dots,\frac{1}{2}|z_n|^2)$である．

シンプレクティック多様体$(\mathbb{CP}^n,\omega_{FS})$へのトーラス作用$\rho:T^n\times\mathbb{CP}^n\to\mathbb{CP}^n,((t_1,\dots,t_n),[X_0:\dots:X_n])\mapsto[X_0:e^{it_1}X_1:\dots:e^{it_n}X_n]$を考える．これのmoment mapは$\mu:\mathbb{CP}^n\to\mathbb{R}^n, [X_0:\dots:X_n]\mapsto(\frac{|X_1|^2}{\sum_{0\leq i\leq n}|X_i|^2},\dots,\frac{|X_n|^2}{\sum_{0\leq i\leq n}|X_i|^2})$である．

どの例でも，トーラス作用で退化している点があることに注意したい．さて，唐突だが，ここでDelzant polytopeを定義する．

polytope$P\subset M_\mathbb{R} = \mathbb{R}^n$がDelzantであるとは，次の条件を満たすこと．

simpleである，つまり，各頂点からはちょうど$n$本の辺が出ている．
rationalである，つまり，各辺の方向ベクトルは整数係数ベクトルで与えられる．
smoothである，つまり，各頂点に対して，それに接する辺の方向ベクトルの集合は$\mathbb{Z}^n$の$\mathbb{Z}$-基底をなす．

3点$(0,0),(1,0),(0,1) \in \mathbb{R}^2$を頂点とするpolytope$P$はDelzantである．
4点$(0,0),(1,0),(0,1),(1,1) \in \mathbb{R}^2$を頂点とするpolytope$P$はsimpleでない．
3点$(0,0),(1,0),(0,\sqrt{2}) \in \mathbb{R}^2$を頂点とするpolytope$P$はrationalでない．

シンプレクティックトーリック多様体とpolytopeは次の定理によって密接に関係する．

(Atiyah-Guillemin-Sternberg)

$2n$次元コンパクトシンプレクティックトーリック多様体$(X,\omega,T^n,\rho,\mu)$に対して，moment mapの像$\mathrm{Im}(\mu)$は$n$次元コンパクトDelzant polytopeである．

(Delzant)

次の$1:1$対応がある．
{コンパクトシンプレクティックトーリック多様体の同型類}$\leftrightarrow${コンパクトDelzant polytopeの同型類}
$(X,\omega,T^n,\rho,\mu)\mapsto \mathrm{Im}(\mu)$

逆に，polytopeからシンプレクティックトーリック多様体を構成するときは，シンプレクティック簡約(symplectic reduction)によって構成できる．とりあえず重要なことは，この定理により，シンプレクティックトーリック多様体はpolytopeによって完全に決定されるということである．

上の例で出てきたシンプレクティックトーリック多様体を考える．

$(S^2,\omega_{std},T^1,\rho,\mu)$に対応するDelzant polytopeは$[-1,1]\subset\mathbb{R}$である．
$(\mathbb{C}^n,\omega_{std},T^n,\rho, \mu)$に対応する（非コンパクト）Delzant polytopeは$(\mathbb{R}_{\geq0})^n\subset\mathbb{R}^n$である．
$(\mathbb{CP}^n,\omega_{FS},T^n,\rho,\mu)$に対応するDelzant polytopeは$n$単体$\Delta^n\subset\mathbb{R}^n$である．

3. 代数幾何から見るトーリック幾何

トーリック多様体(toric variety)とは，$\mathbb{C}$上の$n$次元既約代数多様体$X$であって，次の条件を満たすもの．

稠密な開埋め込み$i:(\mathbb{C}^\times)^n\hookrightarrow X$が存在する．
$X$へのトーラス作用$ \rho:(\mathbb{C}^\times)^n\times X\to X$が存在して，自然な作用$ (\mathbb{C}^\times)^n\times (\mathbb{C}^\times)^n\to (\mathbb{C}^\times)^n$の拡張になっている．

トーリック多様体といったら，正確には，埋め込み$i$や作用$\rho$も含めた組$(X,(\mathbb{C}^\times)^n,i,\rho)$を指すが，たんに$X$と略記する．

用語の問題ではあるが，ここではシンプレクティックトーリック多様体といったら多様体(manifold)で，トーリック多様体といったら代数多様体(variety)なので，注意．

唐突だが，ここでconeを定義する．

coneとは，閉部分集合$\sigma \subset N_\mathbb{R}$であって，加法と$\mathbb{R}_{\geq 0}$-作用について閉じているもの．
cone$\sigma \subset N_\mathbb{R}$に対して，そのdual coneとは，閉部分集合$\sigma^\vee:=\{m \in M_\mathbb{R} \mid \forall n \in N_\mathbb{R}, \langle m,n \rangle \geq 0 \} \subset M_\mathbb{R}$のこと．

cone$\sigma \subset N_\mathbb{R}$がrationalであるとは，加法と$\mathbb{R}_{\geq 0}$-作用についての$\sigma$の生成元$S$として$S \subset N$をとれること．(rationalとは限らない一般の場合には，生成元$S$は$S \subset N_\mathbb{R}$としてとれる．)
cone$\sigma \subset N_\mathbb{R}$がstrongly convexであるとは，$\sigma \cap ( - \sigma ) =\{0\}$をみたすこと．

$\mathbb{C}[\sigma^\vee \cap M]$を，半群$\sigma^\vee \cap M$が$\mathbb{C}$上で生成する$\mathbb{C}$代数として定義する．たとえば，$\mathbb{C}[\mathbb{N}^n]=\mathbb{C}[x_1,\dots,x_n]$である．次の定理により，coneが与えられると，それに付随してアファイン代数多様体が得られ，さらにトーリック多様体としての構造を持つ．

rational strongly convex cone$\sigma\subset N_\mathbb{R}$が与えられると，それに付随して$n$次元アファイントーリック多様体$X_\sigma:=\mathrm{Spec}(\mathbb{C}[\sigma^\vee\cap M])$が定まる．

rationalという仮定により，$\mathbb{C}[\sigma^\vee \cap M]$は有限生成$\mathbb{C}$代数であることがわかる．少し考えると，$\mathbb{C}$代数の単射$\mathbb{C}[\sigma^\vee \cap M] \hookrightarrow \mathbb{C}[t_1^{\pm1},\dots,t_n^{\pm1}]$があることがわかる．よって，$\mathbb{C}[\sigma^\vee \cap M] $は整域で$\mathrm{Spec}(\mathbb{C}[\sigma^\vee \cap M] )$はアファイン代数多様体．次に，$n$次元であることとトーリックの構造が入ることを示す．strongly convexの仮定により，$\mathrm{dim}(\sigma^\vee) = n$がわかる．$m_0 \in \mathrm{Int}(\sigma^\vee) \neq \phi$を任意にとって1つ固定する．頑張ると，先ほどの単射$\mathbb{C}[\sigma^\vee \cap M] \hookrightarrow \mathbb{C}[t_1^{\pm1},\dots,t_n^{\pm1}]$は次の局所化写像に分解することがわかる．$\mathbb{C}[\sigma^\vee \cap M] \xrightarrow{\mathrm{loc}} \mathbb{C}[\sigma^\vee \cap M]_{m_0} \cong \mathbb{C}[M] \cong \mathbb{C}[t_1^{\pm1},\dots,t_n^{\pm1}]$．よって，開埋め込み$\mathrm{Spec}(\mathbb{C}[t_1^{\pm1},\dots,t_n^{\pm1}]) \hookrightarrow \mathrm{Spec}(\mathbb{C}[\sigma^\vee \cap M])$が存在する．つまり，$X_\sigma$は$n$次元トーラス$(\mathbb{C}^\times)^n$を開部分集合として含む．とくに，$X_\sigma$は$n$次元．トーラス作用$(\mathbb{C}^\times)^n\times X_\sigma \to X_\sigma$については，$\mathbb{C}$代数の自然な写像$\mathbb{C}[\sigma^\vee \cap M] \to \mathbb{C}[M] \otimes \mathbb{C}[\sigma^\vee \cap M]$を考えればよい．

$N=\mathbb{Z}^n, \sigma=\{0\}\subset N_\mathbb{R}=\mathbb{R}^n$のとき，$X_\sigma=(\mathbb{C}^\times)^n$．
$N=\mathbb{Z}^n, \sigma=(\mathbb{R}_{\geq 0})^n \subset N_\mathbb{R}=\mathbb{R}^n$のとき，$X_\sigma=\mathbb{C}^n$．
$N=\mathbb{Z}^2, \sigma=\mathrm{Cone}((2,-1),(0,1))\subset N_\mathbb{R}=\mathbb{R}^2$のとき，$\sigma^\vee\cap M=\sigma^\vee \cap \mathbb{Z}^2\subset M=\mathbb{Z}^2$は半群として$(1,0),(1,1),(1,2)\in\mathbb{Z}^2$で生成される．よって，$X_{\sigma}=\mathrm{Spec}( \mathbb{C}[\sigma^\vee\cap\mathbb{Z}^2])\cong \mathrm{Spec}(\mathbb{C}[x,xy,xy^2])\cong \mathrm{Spec}(\mathbb{C}[X,Y,Z]/(XZ-Y^2))$．

有限個のconeの集まり$\Sigma=\{ \sigma_{i} \}_i$であって，しかるべき条件をみたすもののことをfanという．各coneからアファイン代数多様体を構成できるということは，fanから代数多様体を構成する方法がありそうで，実際ある．

$N$内のfan$\Sigma$が与えられると，それに付随して$n$次元トーリック多様体$X_\Sigma:=(\coprod_{\sigma\in\Sigma}X_\sigma)/\sim$が定まる．

$\sigma_1,\sigma_2 \in \Sigma$が共通の面$\sigma_3 \in \Sigma$を持つとき，開埋め込み$X_{\sigma_1} \hookleftarrow X_{\sigma_3} \hookrightarrow X_{\sigma_2}$が存在するので，$X_{\sigma_1}とX_{\sigma_2}$を$X_{\sigma_3}$で貼り合わせることができる．この貼り合わせをすべての$\sigma \in \Sigma$について行うことで，各アファイントーリック多様体$X_\sigma$たちを貼り合わせればよい．

$N=\mathbb{Z}$とする．$N_\mathbb{R}=\mathbb{R}$内の3個のcone$\sigma_1=\{0\},\sigma_2=\{x \mid x \geq 0 \},\sigma_3=\{x \mid x\leq 0\}$からなるfan$\Sigma=\{ \sigma_1,\sigma_2,\sigma_3 \}$に対して，$X_\Sigma=\mathbb{CP}^1$．
$N=\mathbb{Z}^2$とする．$N_\mathbb{R}=\mathbb{R}^2$内の9個のcone$\sigma_1=$原点，$\sigma_2=$$x$軸正方向，$\sigma_3=$$x$軸負方向，$\sigma_4=$$y$軸正方向，$\sigma_5=$$y$軸負方向，$\sigma_6=$第1象限，$\sigma_7=$第2象限，$\sigma_8=$第3象限，$\sigma_9=$第4象限，からなるfan$\Sigma=\{ \sigma_1,\dots,\sigma_9 \}$に対して，$X_\Sigma=\mathbb{CP}^1 \times \mathbb{CP}^1$．
$N=\mathbb{Z}^2$とする．$N_\mathbb{R}=\mathbb{R}^2$内の7個のcone$\sigma_1=\{(0,0)\}$，$\sigma_2=\{(x,0)\mid x\geq 0 \}$，$\sigma_3=\{(0,y) \mid y \geq 0\}$，$\sigma_4=\{(x,x) \mid x \leq 0\} $，$\sigma_5=\{(x,y) \mid x\geq 0 , y \geq 0 \}$，$\sigma_6=\{(x,y) \mid x\leq 0, y\geq x\}$，$\sigma_7=\{(x,y)\mid y\leq 0, y\leq x\}$からなるfan$\Sigma=\{ \sigma_1,\dots,\sigma_7 \}$に対して，$X_\Sigma= \mathbb{CP}^2$．

代数多様体を構成する方法としてfanを使う方法を紹介したわけだが，さらにそのfanを構成する方法としてpolytopeを使う方法がある．次はこれを紹介する．

polytope$P\subset M_\mathbb{R}$がlatticeであるとは，$P$の各頂点が$M$に属すること．

$n$次元lattice polytope$P\subset M_\mathbb{R}$が与えられると，それに付随して$N$内のfan$\Sigma_P$を構成するcanonicalな方法がある．

polytope$P \subset M_\mathbb{R}$は，境界に対応する上半平面$H_i=\{m \in M_\mathbb{R} \mid \langle m,n_i \rangle \geq b_i \} $を用いて，$P=\cap_{i} H_i$と表示できる．$P$の各面$Q \subset M_\mathbb{R}$に対してcone$\sigma_Q \subset N_\mathbb{R}$を$\sigma_Q:=\mathrm{Cone}( \{ n_i \mid Q \subset H_i \} ) \subset N_\mathbb{R}$で定義する．$\Sigma_P: = \{\sigma_Q \}_Q $と定義すれば，これはfanになることが確かめられる．

$N=\mathbb{Z}^n$とする．lattice polytope$P\subset M_{\mathbb{R}}=\mathbb{R}^n$が$n$単体のとき，$X_{\Sigma_P}=\mathbb{CP}^n$である．
$N=\mathbb{Z}^n$とする．lattice polytope$P\subset M_{\mathbb{R}}=\mathbb{R}^n$が$P=\{(x_1,\dots,x_n)\mid x_1\geq0, \cdots,x_n\geq0,x_1+\cdots+x_n\geq1 \}$のとき，$X_{\Sigma_P}=\mathrm{Bl}_{0}(\mathbb{C}^n)=\mathcal{O}_{\mathbb{CP}^{n-1}}(-1)$である．

polytope$P$が(polytopeの意味で)smoothであることとトーリック多様体$X_{\Sigma_P}$がsmoothであることは同値である．smoothness以外にも，$X_{\Sigma_P}$はpolytope$P$の性質をいろいろ反映する．

重要なことは，polytopeからシンプレクティックトーリック多様体(manifold)をcanonicalに構成する方法とはまた別に，polytopeからトーリック多様体(variety)をcanonicalに構成する方法があるということである．ここまでの構成の流れを整理すると，次のようになる．

polytope$\to$シンプレクティックトーリック多様体
cone$\to$アファイントーリック多様体
polytope$\to$fan$\to$トーリック多様体

すべてのトーリック多様体がfanから得られるわけではないが，トーリック多様体が正規(normal)であればfanから得られる．より強く，次の定理が成り立つ．

(Sumihiro)

次の$1:1$対応がある．
{fanの同型類}$\leftrightarrow${正規トーリック多様体の同型類}
$\Sigma\mapsto X_\Sigma$

なお，シンプレクティックトーリック多様体のときのようにpolytopeとの1対1対応があるわけではない．

4. 2つの構成

$M$の階数を$n$とする．コンパクトDelzant lattice polytope$P\subset M_{\mathbb{R}}$が与えられると，シンプレクティック幾何の章で見たように$2n$次元シンプレクティックトーリック多様体$X_P$を構成でき，一方で代数幾何の章で見たように$n$次元トーリック多様体$X_{\Sigma_P}$を構成できる．それぞれがmanifoldとvarietyなので，このままでは比較できないが，$P$がpolytopeの意味でsmoothなので$X_{\Sigma_P}$はsmooth varietyであり，$X_{\Sigma_P}$を自然に複素多様体とみなすことで「$X_P$と$X_{\Sigma_P}$はmanifoldとして同型か？」という質問が意味を持つ．次の定理は，この2つが一致することを主張する．