楕円積分のべきが満たす微分方程式を構成する方法について
あいさつ
んちゃ！
今回は完全楕円積分のべき$E^{n},F^{n}$(特に$n=2$の場合)が満たす微分方程式とその解について手っ取り早く調べます。
ちなみに、計算がとにかく煩雑なのであまりそこに時間をかける(自己満足以上の)価値はないかも。どちらかというと、微分方程式を構成出来る事の方が重要だと思うのです。
また複雑な多項式係数線形漸化式が出てくるけど、この漸化式の解が閉じた形式で書けるかどうかの確認までは出来ていない事に注意。
- $k\in[-1,1]$に対して$\overline{k}\coloneqq \sqrt{1-k^{2}}$
- $k\in[-1,1],\theta\in[0,2\pi]$に対して$R(k,\theta)\coloneqq\sqrt{1-k^{2}\sin^{2}{\theta}}$なお引数は適宜省略する。
- $\displaystyle E(k)\coloneqq\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{1-k^{2}\sin^{2}{\theta}}d\theta$
- $\displaystyle K(k)\coloneqq\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{d\theta}{\sqrt{1-k^{2}\sin^{2}{\theta}}}$
$E^{n},K^{n}$の微分方程式は$k$に関する関数$p_{n,n+1}(k),p_{n,n}(k),...,p_{n,0}(k),q_{n,n+1}(k),q_{n,n}(k),...,q_{n,0}(k)\in\mathbb{R}(k)$が存在して
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle\sum_{m=0}^{n+1}p_{n,m}(k)\frac{d^{m}}{dk^{m}}E^{n}=0\\
\displaystyle\sum_{m=0}^{n+1}q_{n,m}(k)\frac{d^{m}}{dk^{m}}K^{n}=0
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
を満たす事を証明せよ。
また、この事を用いて$E^{2},K^{2}$の級数解を求めよ。
必要な分だけ速攻復習
一階微分可能である関数$f:(0,2\pi)\rightarrow\mathbb{R}$に対して以下の式が成り立つ。
\begin{equation}
\frac{\partial f(\theta)R^{s}(k,\theta)}{\partial \theta}=R^{s-2}(k,\theta)[f^{'}(\theta)-k^{2}\sin{\theta}\{f^{'}(\theta)\sin{\theta}+sf(\theta)\cos{\theta}\}]
\end{equation}
ただし、$k\in (-1,1)$。
\begin{eqnarray} \frac{\partial f(\theta)R^{s}(k,\theta)}{\partial \theta}&=&f^{'}(\theta)R^{s}(k,\theta)-sk^{2}\sin{\theta}\cos{\theta}R^{s-2}(k,\theta)\\ &=&R^{s-2}(k,\theta)[f^{'}(\theta)-k^{2}\sin{\theta}\{f^{'}(\theta)\sin{\theta}+sf(\theta)\cos{\theta}\}] \end{eqnarray}
$s=-1,f(\theta)=\sin{\theta}\cos{\theta}$とおくと
\begin{equation}
\frac{\partial}{\partial\theta}\frac{\sin{\theta}\cos{\theta}}{R}=\frac{R^{4}-\overline{k}^{2}}{k^{2}R^{3}}
\end{equation}
\begin{align} &\frac{\partial}{\partial \theta}(\frac{\sin{\theta}\cos{\theta}}{R})\\ &=\frac{1}{R^{3}}[\cos^{2}{\theta}-\sin^{2}{\theta}-k^{2}\sin{\theta}\{(\cos^{2}{\theta}-\sin^{2}{\theta})\sin{\theta}-\sin{\theta}\cos^{2}{\theta}\}]\\ &=\frac{1}{R^{3}}(\cos^{2}{\theta}-\sin^{2}{\theta}+k^{2}\sin^{4}{\theta})\\ &=\frac{1}{R^{3}}\{\cos^{2}{\theta}-\sin^{2}{\theta}(1-k^{2}\sin^{2}{\theta})\}\\ &=\frac{1-\sin^{2}{\theta}}{R^{3}}-\frac{\sin^{2}{\theta}}{R}\\ &=\frac{1-\sin^{2}{\theta}}{R^{3}}-\frac{1}{k^{2}}\frac{1}{R}+\frac{1}{k^{2}}\frac{1-k^{2}\sin^{2}{\theta}}{R}\\ &=\frac{R}{k^{2}}+\frac{k^{2}-k^{2}\sin^{2}{\theta}-1+k^{2}\sin^{2}{\theta}}{k^{2}R^{3}}\\ &=\frac{R}{k^{2}}-\frac{1-k^{2}}{k^{2}R^{3}}\\ &=\frac{R^{4}-\overline{k}^{2}}{k^{2}R^{3}} \end{align}
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle\frac{dE}{dk}=\frac{E-K}{k}\\ \displaystyle\frac{dK}{dk}=\frac{E-\overline{k}^{2}K}{k\overline{k}^{2}} \end{array} \right. \end{eqnarray}
[1]
\begin{eqnarray}
\frac{dE}{dk}&=&-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{k\sin^{2}{\theta}}{R}d\theta\\
&=&\frac{1}{k}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}Rd\theta-\frac{1}{k}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{d\theta}{R}\\
&=&\frac{E-K}{k}
\end{eqnarray}
[2]
\begin{eqnarray}
\frac{dK}{dk}&=&\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{k\sin^{2}{\theta}}{R^{3}}d\theta\\
&=&-\frac{1}{k}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{d\theta}{R}+\frac{1}{k}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{d\theta}{R^{3}}\\
&=&-\frac{K}{k}+\frac{1}{k\overline{k}^{2}}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(-k^{2}\frac{\partial\sin{\theta}\cos{\theta}}{\partial \theta}+R)d\theta\\
&=&\frac{E-\overline{k}^{2}K}{k\overline{k}^{2}}
\end{eqnarray}
問題1に対する回答
まずは証明部分
補題3より、$E^{n},K^{n}$について$k$について$m$階微分を施すとそれぞれ
$E^{n},E^{n-1}K,...,E^{n-m}K^{m}$
$K^{n},K^{n-1}E,...,K^{n-m}E^{m}$
の$k$に関する有理関数係数一次結合で書ける。
ゆえに$E^{n},K^{n}$の微分方程式は$k$に関する関数$p_{n,n+1}(k),p_{n,n}(k),...,p_{n,0}(k),q_{n,n+1}(k),q_{n,n}(k),...,q_{n,0}(k)\in\mathbb{R}(k)$が存在して
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle\sum_{m=0}^{n+1}p_{n,m}(k)\frac{d^{m}}{dk^{m}}E^{n}=0\\
\displaystyle\sum_{m=0}^{n+1}q_{n,m}(k)\frac{d^{m}}{dk^{m}}K^{n}=0
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
を満たす事が言えた。
$E^{2}$の満たす微分方程式とその解を求める。
[1]
\begin{eqnarray}
\frac{dE^{2}}{dk}=2\frac{E^{2}-EK}{k}\therefore EK=E^{2}-\frac{k}{2}\frac{dE^{2}}{dk}
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\frac{d EK}{dk}&=&\frac{E-K}{k}K+E\frac{E-\overline{k}^{2}K}{k\overline{k}^{2}}\\
&=&\frac{E^{2}-\overline{k}^{2}K^{2}}{k\overline{k}^{2}}
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\frac{dK^{2}}{dk}&=&2\frac{EK-\overline{k}^{2}K^{2}}{k\overline{k}^{2}}
\end{eqnarray}
[2]
\begin{eqnarray}
\frac{d^{2}E^{2}}{dk^{2}}&=&2\frac{d}{dk}\frac{E^{2}-EK}{k}\\
&=&\frac{2}{k}\frac{dE^{2}}{dk}-2\frac{E^{2}-EK}{k^{2}}-2\frac{E^{2}-\overline{k}^{2}K^{2}}{k^{2}\overline{k}^{2}}\\
&=&\frac{2}{k}\frac{dE^{2}}{dk}-2\frac{(1+\overline{k}^{2})}{k^{2}\overline{k}^{2}}E^{2}+2\frac{EK}{k^{2}}+2\frac{K^{2}}{k^{2}}\\
&=&\frac{2}{k}\frac{dE^{2}}{dk}-2\frac{(1+\overline{k}^{2})}{k^{2}\overline{k}^{2}}E^{2}+2\frac{E^{2}-\frac{k}{2}\frac{dE^{2}}{dk}}{k^{2}}+2\frac{K^{2}}{k^{2}}\\
&=&\frac{1}{k}\frac{dE^{2}}{dk}-\frac{2}{k^{2}\overline{k}^{2}}E^{2}+\frac{2}{k^{2}}K^{2}\therefore K^{2}=\frac{k^{2}}{2}\frac{d^{2}E^{2}}{dk^{2}}-\frac{k}{2}\frac{dE^{2}}{dk}+\frac{1}{\overline{k}^{2}}E^{2}
\end{eqnarray}
より
\begin{eqnarray}
\frac{k^{2}}{2}\frac{d^{3}E^{2}}{dk^{3}}+\frac{k}{2}\frac{d^{2}E^{2}}{dk^{2}}+\frac{1+k^{2}}{2\overline{k}^{2}}\frac{dE^{2}}{dk}+\frac{2k}{\overline{k}^{4}}E^{2}&=&2\frac{EK-\overline{k}^{2}K^{2}}{k\overline{k}^{2}}\\
&=&2\frac{E^{2}-\frac{k}{2}\frac{dE^{2}}{dk}-\overline{k}^{2}(\frac{k^{2}}{2}\frac{d^{2}E^{2}}{dk^{2}}-\frac{k}{2}\frac{dE^{2}}{dk}+\frac{1}{\overline{k}^{2}}E^{2})}{k\overline{k}^{2}}\\
&=&-k\frac{d^{2}E^{2}}{dk^{2}}-\frac{k^{2}}{\overline{k}^{2}}\frac{dE^{2}}{dk}
\end{eqnarray}
ゆえに整理して次の三階の微分方程式を得る。
\begin{equation}
\frac{k^{2}}{2}\frac{d^{3}E^{2}}{dk^{3}}+\frac{3k}{2}\frac{d^{2}E^{2}}{dk^{2}}+\frac{1+3k^{2}}{2\overline{k}^{2}}\frac{dE^{2}}{dk}+\frac{2k}{\overline{k}^{4}}E^{2}=0
\end{equation}
もう少し整理して以下の式を得る。
\begin{equation}
k^{2}\overline{k}^{4}\frac{d^{3}E^{2}}{dk^{3}}+3k\overline{k}^{4}\frac{d^{2}E^{2}}{dk^{2}}+(1+3k^{2})\overline{k}^{2}\frac{dE^{2}}{dk}+4kE^{2}=0
\end{equation}
[4]
\begin{align}
&[k^{\rho-1}]k^{2}\overline{k}^{4}\frac{d^{3}k^{\rho}}{dk^{3}}+3k\overline{k}^{4}\frac{d^{2}k^{\rho}}{dk^{2}}+(1+3k^{2})\overline{k}^{2}\frac{dk^{\rho}}{dk}+4kk^{\rho}\\
&=\rho(\rho-1)(\rho-2)+3\rho(\rho-1)+\rho\\
&=\rho(\rho^{2}-3\rho+2+3\rho-3+1)\\
&=\rho^{3}
\end{align}
なので$k=0$での指数は$\rho=0$のみ。
[5]$E^{2}=\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}k^{2n}$とおく。すると
\begin{align}
&[k^{2n+3}]
k^{2}\overline{k}^{4}\frac{d^{3}E^{2}}{dk^{3}}+3k\overline{k}^{4}\frac{d^{2}E^{2}}{dk^{2}}+(1+3k^{2})\overline{k}^{2}\frac{dE^{2}}{dk}+4kE^{2}\\
&=[k^{2n}](k^{2}-2k^{4}+k^{6})\frac{d^{3}E^{2}}{dk^{3}}+3(k-2k^{3}+k^{5})\frac{d^{2}E^{2}}{dk^{2}}+(1+3k^{2})(1-k^{2})\frac{dE^{2}}{dk}+4kE^{2}\\
&=\{(2n+4)(2n+3)(2n+2)+3(2n+4)(2n+3)+2n+4\}c_{n+2}\\
&-\{2(2n+2)(2n+1)2n+6(2n+2)(2n+1)-2(2n+2)-4\}c_{n+1}\\
&+\{2n(2n-1)(2n-2)+3\cdot 2n(2n-1)-3\cdot 2n\}c_{n}\\
&=8(n+2)^{3}c_{n+2}-4(4n^{3}+12n^{2}+10n+1)c_{n+1}+8n(n-1)(n+1)c_{n}\\
&=0\quad(n\geq 0)
\end{align}
より
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle E^{2}=\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}k^{2n}\\
\displaystyle 8(n+2)^{3}c_{n+2}-4(4n^{3}+12n^{2}+10n+1)c_{n+1}+8n(n-1)(n+1)c_{n}=0\quad(n\geq 0)\\
\displaystyle c_{0}=\frac{\pi^{2}}{4}\\
\displaystyle c_{1}=-\frac{1}{2}c_{0}=-\frac{\pi^{2}}{8}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
$K^{2}$の満たす微分方程式と解を求める。
[1]
\begin{eqnarray}
\frac{dE^{2}}{dk}=2\frac{E^{2}-EK}{k}\therefore EK=E^{2}-\frac{k}{2}\frac{dE^{2}}{dk}
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\frac{d EK}{dk}&=&\frac{E-K}{k}K+E\frac{E-\overline{k}^{2}K}{k\overline{k}^{2}}\\
&=&\frac{E^{2}-\overline{k}^{2}K^{2}}{k\overline{k}^{2}}
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\frac{dK^{2}}{dk}&=&2\frac{EK-\overline{k}^{2}K^{2}}{k\overline{k}^{2}}\therefore EK=\overline{k}^{2}K^{2}+\frac{k\overline{k}^{2}}{2}\frac{dK^{2}}{dk}
\end{eqnarray}
[2]
\begin{eqnarray}
\frac{d^{2}K^{2}}{dk^{2}}&=&-\frac{2}{k}\frac{dK^{2}}{dk}+\frac{2}{k^{2}}K^{2}+\frac{2}{k\overline{k}^{2}}\frac{d EK}{dk}-\frac{2-6k^{2}}{k^{2}\overline{k}^{4}}EK\\
&=&-\frac{2}{k}\frac{dK^{2}}{dk}+\frac{2}{k^{2}}K^{2}+\frac{2}{k\overline{k}^{2}}\frac{E^{2}-\overline{k}^{2}K^{2}}{k\overline{k}^{2}}-\frac{2-6k^{2}}{k^{2}\overline{k}^{4}}(\overline{k}^{2}K^{2}+\frac{k\overline{k}^{2}}{2}\frac{dK^{2}}{dk})\\
&=&-\frac{3-5k^{2}}{k\overline{k}^{2}}\frac{dK^{2}}{dk}+\frac{-2+4k^{2}}{k^{2}\overline{k}^{2}}K^{2}+\frac{2}{k^{2}\overline{k}^{4}}E^{2}
\end{eqnarray}
ゆえに
\begin{equation}
E^{2}=\frac{k^{2}\overline{k}^{4}}{2}\frac{d^{2}K^{2}}{dk^{2}}+\frac{k\overline{k}^{2}(3-5k^{2})}{2}\frac{dK^{2}}{dk}+(1-2k^{2})\overline{k}^{2}K^{2}
\end{equation}
[3]
\begin{align}
&\frac{k^{2}\overline{k}^{4}}{2}\frac{d^{3}K^{2}}{dk^{3}}+\frac{5k-16k^{3}+11k^{5}}{2}\frac{d^{2}K^{2}}{dk^{2}}+\frac{5-30k^{2}+29k^{4}}{2}\frac{dK^{2}}{dk}+(-6k+8k^{3})K^{2}\\
&=2\frac{E^{2}-EK}{k}\\
&=\frac{2}{k}\{\frac{k^{2}\overline{k}^{4}}{2}\frac{d^{2}K^{2}}{dk^{2}}+\frac{k\overline{k}^{2}(3-5k^{2})}{2}\frac{dK^{2}}{dk}+(1-2k^{2})\overline{k}^{2}K^{2}\}-\frac{2}{k}(\overline{k}^{2}K^{2}+\frac{k\overline{k}^{2}}{2}\frac{dK^{2}}{dk})\\
&=k\overline{k}^{4}\frac{d^{2}K^{2}}{dk^{2}}+(2-7k^{2}+5k^{4})\frac{dK^{2}}{dk}+(-4k+4k^{3})K^{2}
\end{align}
より整理して以下の3階微分方程式を得る。
\begin{equation}
k^{2}\overline{k}^{4}\frac{d^{3}K^{2}}{dk^{3}}+3k\overline{k}^{2}(1-3k^{2})\frac{d^{2}K^{2}}{dk^{2}}+(1-16k^{2}+19k^{4})\frac{dK^{2}}{dk}-4k(1-2k^{2})K^{2}=0
\end{equation}
[4]$k=0$は簡単な計算から確定特異点である事が分かるのでその周辺で解を$K=k^{\rho}\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}k^{2n}$の様におくと
\begin{align}
&[k^{\rho-1}]k^{2}\overline{k}^{4}\frac{d^{3}k^{\rho}}{dk^{3}}+3k\overline{k}^{2}(1-3k^{2})\frac{d^{2}k^{\rho}}{dk^{2}}+(1-16k^{2}+19k^{4})\frac{dk^{\rho}}{dk}-4k(1-2k^{2})k^{\rho}\\
&=\rho(\rho-1)(\rho-2)+3\rho(\rho-1)+\rho\\
&=\rho^{3}
\end{align}
なので$\rho=0$を得る。
[5]$K=\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}k^{2n}$とおくと
\begin{align}
&[k^{2n+3}]k^{2}\overline{k}^{4}\frac{d^{3}K^{2}}{dk^{3}}+3k\overline{k}^{2}(1-3k^{2})\frac{d^{2}K^{2}}{dk^{2}}+(1-16k^{2}+19k^{4})\frac{dK^{2}}{dk}-4k(1-2k^{2})K^{2}\\
&=[k^{2n+3}](k^{2}-2k^{4}+k^{6})\frac{d^{3}K^{2}}{dk^{3}}+(3k-12k^{3}+9k^{5})\frac{d^{2}K^{2}}{dk^{2}}+(1-16k^{2}+19k^{4})\frac{dK^{2}}{dk}+(-4k+8k^{3})K^{2}\\
&=\{(2n+4)(2n+3)(2n+2)+3(2n+4)(2n+3)+(2n+4)\}c_{n+2}\\
&-\{2(2n+2)(2n+1)2n+12(2n+2)(2n+1)+16(2n+2)+4\}c_{n+1}\\
&+\{2n(2n-1)(2n-2)+9\cdot2n(2n-1)+19\cdot2n+8\}c_{n}\\
&=8(n+2)^{3}c_{n+2}-4(4n^{3}+18n^{2}+28n+15)c_{n+1}+8(n+1)^{3}c_{n}\\
&=0\quad(n\geq 0)
\end{align}
なので
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle K^{2}=\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}k^{2n}\\
\displaystyle 8(n+2)^{3}c_{n+2}-4(4n^{3}+18n^{2}+28n+15)c_{n+1}+8(n+1)^{3}c_{n}=0\quad(n\geq 0)\\
\displaystyle c_{0}=\frac{\pi^{2}}{4}\\
\displaystyle c_{1}=\frac{\pi^{2}}{8}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
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