Andrews-Askeyの和公式
\begin{align} \Q21{b^2,b^2/c}{c}{q^2;\frac{cq}{b^2}}&=\frac 12\frac{(b^2,q;q^2)_{\infty}}{(c,cq/b^2;q^2)_{\infty}}\left(\frac{(c/b;q)_{\infty}}{(b;q)_{\infty}}+\frac{(-c/b;q)_{\infty}}{(-b;q)_{\infty}}\right) \end{align}
Heineの変換公式
\begin{align}
\Q21{a,b}{c}{x}&=\frac{(b,ax;q)_{\infty}}{(c,x;q)_{\infty}}\Q21{c/b,x}{ax}{b}
\end{align}
において, $q\mapsto q^2$として$a\mapsto b^2/c, b\mapsto b^2, x\mapsto \frac{cq}b$として,
\begin{align}
\Q21{b^2,b^2/c}{c}{q^2;\frac{cq}{b^2}}&=\frac{(b^2,q;q^2)_{\infty}}{(c,cq/b^2;q^2)_{\infty}}\Q21{c/b^2,cq/b^2}{q}{q^2;b^2}\\
&=\frac{(b^2,q;q^2)_{\infty}}{(c,cq/b^2;q^2)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(c/b^2;q)_{2n}}{(q;q)_{2n}}b^{2n}\\
&=\frac{(b^2,q;q^2)_{\infty}}{2(c,cq/b^2;q^2)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(c/b^2;q)_{n}}{(q;q)_{n}}(b^n+(-b)^n)\\
&=\frac{(b^2,q;q^2)_{\infty}}{2(c,cq/b^2;q^2)_{\infty}}\left(\frac{(c/b;q)_{\infty}}{(b;q)_{\infty}}+\frac{(-c/b;q)_{\infty}}{(-b;q)_{\infty}}\right)
\end{align}
となって示される. 最後の等号は$q$二項定理による.
類似として, 以下のような公式もある.
\begin{align} \Q21{b^2,b^2/c}{cq^2}{q^2,\frac{cq^3}{b^2}}&=\frac 1{2b}\frac{(b^2,q;q^2)_{\infty}}{(cq^2,cq/b^2;q^2)_{\infty}}\left(\frac{(cq/b;q)_{\infty}}{(b;q)_{\infty}}-\frac{(-cq/b;q)_{\infty}}{(-b;q)_{\infty}}\right) \end{align}
先ほどと同様にHeineの変換公式を用いると,
\begin{align}
\Q21{b^2,b^2/c}{cq^2}{q^2,\frac{cq^3}{b^2}}&=\frac{(b^2,q^3;q^2)_{\infty}}{(cq^2,cq^3/b^2;q^2)_{\infty}}\Q21{cq^3/b^2,cq^2/b^2}{q^3}{b^2}\\
&=\frac{(b^2,q;q^2)_{\infty}}{b(cq^2,cq/b^2;q^2)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(cq/b^2;q)_{2n+1}}{(q;q)_{2n+1}}b^{2n+1}\\
&=\frac{(b^2,q;q^2)_{\infty}}{2b(cq^2,cq/b^2;q^2)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(cq/b^2;q)_n}{(q;q)_n}(b^n-(-b)^n)\\
&=\frac{(b^2,q;q^2)_{\infty}}{2b(cq^2,cq/b^2;q^2)_{\infty}}\left(\frac{(cq/b;q)_{\infty}}{(b;q)_{\infty}}-\frac{(-cq/b;q)_{\infty}}{(-b;q)_{\infty}}\right)
\end{align}
となって示される.
