Diaryの積分を解いてみた2
期間真っ只中
テスト期間真っ只中ですがやります。記事短めです。
問題
$$\int \frac{1}{\sqrt{x(x^2+1)}\sqrt{x+\sqrt{x^2+1}}}dx$$
今回は簡単め。解きましょう。
表題の積分を$I$とおく。$I$について、$x=\sinh{θ}\rightarrow dx=\coshθdθ$
$$I=\int \frac{\coshθ}{\sqrt{\sinhθ}\sqrt{\sinh^2θ+1}\sqrt{\sinhθ+\sqrt{\sinh^2θ+1}}}dθ=\int \frac{1}{\sqrt{\sinhθ}\sqrt{e^{θ}}}dθ$$
$$=\sqrt{2}\int \frac{1}{\sqrt{e^{2θ}-1}}dθ$$
$\sqrt{e^{2θ}-1}=t\rightarrow dθ=\frac{t}{t^2+1}dt$
$$I=\sqrt{2}\int \frac{1}{t}\cdot\frac{t}{t^2+1}dt=\sqrt{2}\arctan t+C=\sqrt{2}\arctan{\sqrt{e^{2θ}-1}}+C$$
$e^{2θ}=e^{2\mathrm{arsinh}x}=(x+\sqrt{x^2+1})^2$より、
$$\boldsymbol{I=\sqrt{2}\arctan{\sqrt{x+1+\sqrt{x^2+1}}\sqrt{x-1+\sqrt{x^2+1}}}+C}$$
conclusion
べっかいしょうかい!
$$I=\sqrt{2}\arcsin(x-\sqrt{x^2+1})+C$$
まっ!? まあ?? 私の式のほうが対称性あってきれいですし??
...と冗談はさておき、Diaryで簡単な積分が出たときは、いかに簡単できれいな形にするかがポイント...であってほしい。
別解の勝ちです。ほかに面白い答えが見つかったらぜひ書き込んでいってね。以上。
