Diaryの積分を解いてみた2

表題の積分を$I$とおく。$I$について、$x=\sinh \theta \to dx=\cosh \theta d\theta$
$$I=\int \frac{\cosh \theta }{\sqrt{\sinh \theta }\sqrt{{\sinh }^2\theta +1}\sqrt{\sinh \theta +\sqrt{{\sinh }^2\theta +1}}}d\theta =\int \frac{1}{\sqrt{\sinh \theta }\sqrt{e^{\theta }}}d\theta$$
$$=\sqrt{2}\int \frac{1}{\sqrt{e^{2\theta }-1}}d\theta$$
$\sqrt{e^{2\theta }-1}=t\to d\theta =\frac{t}{t^2+1}dt$
$$I=\sqrt{2}\int \frac{1}{t}\cdot \frac{t}{t^2+1}dt=\sqrt{2}\arctan t+C=\sqrt{2}\arctan \sqrt{e^{2\theta }-1}+C$$
$e^{2\theta }=e^{2\mathrm{arsinh}x}=(x+\sqrt{x^2+1}{)}^2$より、
$$\mathit{I}\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{2}}\mathbf{arctan}\mathbf{}\sqrt{\mathit{x}\mathbf{+}\mathbf{1}\mathbf{+}\sqrt{{\mathit{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{1}}}\sqrt{\mathit{x}\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{+}\sqrt{{\mathit{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{1}}}\mathbf{+}\mathit{C}$$