ベルヌーイの公式　べき乗和の公式

べき乗和に関する等式を記す.

$1^k+2^k+\cdots +n^k=S_k(n)$と置く.

多項式$(t-1{)}^3+(t-2{)}^3+\cdots (t-n{)}^3$を考える.愚直に展開すると
$n{t}^3-3S_1(n)t^2+3S_2(n)t-S_3(n)$となる.$t$に$n+1$を代入すると左辺は$S_3(n)$となり,これと右辺を見比べて
$n(n+1{)}^3-3S_1(n)(n+1{)}^2+3S_2(n)(n+1)-S_3(n)=S_3(n)$
が成り立つ.

これと同じ方法で$S_4(2n)-2S_4(n)=n(n^4+4S_1(n)n^2+6S_2(n)n+4S_3(n))$
や
$S_4(2n+1)-2S_4(n)=(2n+1)(n+1{)}^4+12S_2(n)(n+1{)}^2$
なども見つけることができます.

これらの公式を使うと$S_k(-1)=0$や$S_k(0)=0$,$k$が偶数のとき$S_k(-\frac{1}{2})=0$などを示すことができます.