ベルヌーイの公式　べき乗和の公式

べき乗和に関する等式を記す.

$1^k + 2^k + \cdots + n^k = S_k(n)$と置く.

多項式$(t-1)^3 + (t-2)^3 + \cdots (t-n)^3$を考える.愚直に展開すると
$nt^3 - 3 S_1(n)t^2 + 3S_2(n)t -S_3(n)$となる.$t$に$n+1$を代入すると左辺は$S_3(n)$となり,これと右辺を見比べて
$n(n+1)^3 - 3S_1(n)(n+1)^2 + 3S_2(n)(n+1) - S_3(n) = S_3(n)$
が成り立つ.

これと同じ方法で$S_4(2n)-2S_4(n) = n(n^4 + 4S_1(n)n^2 + 6S_2(n)n + 4S_3(n))$
や
$S_4(2n+1)-2S_4(n) = (2n+1)(n+1)^4 + 12S_2(n)(n+1)^2$
なども見つけることができます.

これらの公式を使うと$S_k(-1)=0$や$S_k(0) = 0$,$k$が偶数のとき$S_k(-\frac{1}{2}) = 0$などを示すことができます.