自作問題あなぐら 4（方程式の解の実部についての考察）

(1) $f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$とおく．$f^{\prime }(x)=3x^2+2ax+b$ゆえ，$x\ge 0$では$f^{\prime }(x)>0$となる．よって$x\ge 0$の範囲では$f(x)$は単調増加であり，$f(0)=c>0$である．よって$f(x)=0$となる実数$x$は非負の範囲には存在しない．よって与方程式の実数解は全て負である．
(2) 与方程式の解の組み合わせは，(i)重解を含めて実数解3つ，(ii) 実数解1つと互いに共役な虚数解2つ，の場合がある．それぞれの場合について題意を証明する．
　(i)のとき，与方程式の3実数解を$\alpha$，$\beta$，$\gamma$(ただし$\alpha <\beta <\gamma$)とおく．このとき
$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}\alpha +\beta +\gamma =-a,\\ \alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha =b,\\ \alpha \beta \gamma =-c\end{array}\end{array}$$
が成り立つ．よって
$$\begin{array}{rl}ab-c& =-(\alpha +\beta +\gamma )(\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha )+\alpha \beta \gamma \\ & =-({\alpha }^2\beta +\alpha {\beta }^2+{\beta }^2\gamma +\beta {\gamma }^2+\gamma {\alpha }^2+{\gamma }^2\alpha +2\alpha \beta \gamma )\end{array}$$
である．ここで$\alpha$，$\beta$，$\gamma$の実部が全て負であると仮定すると，このとき$\alpha$，$\beta$，$\gamma$は全て負だから括弧内の各項は負となる．したがって$ab-c>0$つまり$ab>c$を得る．
　逆に$ab>c$のとき，(1)より解は全て負．
　(ii)のとき，与方程式の3解は$\alpha$，$\beta$，$\overline{\beta }$(ただし$\alpha$は実数で$\beta$は虚数)とおける．すると
$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}\alpha +\beta +\overline{\beta }=-a,\\ \alpha \beta +\beta \overline{\beta }+\overline{\beta }\alpha =b,\\ \alpha \beta \overline{\beta }=-c\end{array}\end{array}$$
が成り立つ．よって
$$\begin{array}{r}ab-c=-2({\alpha }^2+|\beta {|}^2)\mathrm{Re}(\beta )-4\alpha \{\mathrm{Re}(\beta ){\}}^2\end{array}$$
となる．ここで$\alpha$，$\beta$，$\overline{\beta }$の実部が負であると仮定すると，このとき$\alpha <0$，$\mathrm{Re}(\beta )<0$であるから$ab-c>0$が成立．
　逆に$ab>c$のとき，(1)より$\alpha <0$が得られる．そして$f(x)=0$の実数解が$x=\alpha$のみで，$f(\alpha )=0$および$f(0)=c>0$であることから$\alpha <x$の範囲では$f(x)>0$であり，$x<\alpha$では$f(x)<0$である．このことと$f(-a)<0$から$-a<\alpha$がわかる．これを用いると，$\alpha +\beta +\overline{\beta }=-a$から
$$\begin{array}{r}\mathrm{Re}(\beta )=-\frac{a+\alpha }{2}<0\end{array}$$
を得る．よって$\alpha$，$\beta$，$\overline{\beta }$の実部が負．
　以上より，示すべき命題は示された．