自作問題あなぐら 4（方程式の解の実部についての考察）

(1) $f(x) = x^3 + a x^2 + b x + c$とおく．$f'(x) = 3 x^2 + 2 a x + b$ゆえ，$x \geq 0$では$f'(x) > 0$となる．よって$x \geq 0$の範囲では$f(x)$は単調増加であり，$f(0) = c > 0$である．よって$f(x) = 0$となる実数$x$は非負の範囲には存在しない．よって与方程式の実数解は全て負である．
(2) 与方程式の解の組み合わせは，(i)重解を含めて実数解3つ，(ii) 実数解1つと互いに共役な虚数解2つ，の場合がある．それぞれの場合について題意を証明する．
　(i)のとき，与方程式の3実数解を$\alpha$，$\beta$，$\gamma$(ただし$\alpha < \beta < \gamma$)とおく．このとき
\begin{align} \begin{cases} \alpha + \beta + \gamma = - a, \\ \alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = b, \\ \alpha \beta \gamma = - c \end{cases} \end{align}
が成り立つ．よって
\begin{align} a b - c &= - (\alpha + \beta + \gamma) (\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha) + \alpha \beta \gamma \\ &= - (\alpha^2 \beta + \alpha \beta^2 + \beta^2 \gamma + \beta \gamma^2 + \gamma \alpha^2 + \gamma^2 \alpha + 2 \alpha \beta \gamma) \end{align}
である．ここで$\alpha$，$\beta$，$\gamma$の実部が全て負であると仮定すると，このとき$\alpha$，$\beta$，$\gamma$は全て負だから括弧内の各項は負となる．したがって$a b - c > 0$つまり$a b > c$を得る．
　逆に$a b > c$のとき，(1)より解は全て負．
　(ii)のとき，与方程式の3解は$\alpha$，$\beta$，$\bar{\beta}$(ただし$\alpha$は実数で$\beta$は虚数)とおける．すると
\begin{align} \begin{cases} \alpha + \beta + \bar{\beta} = - a, \\ \alpha \beta + \beta \bar{\beta} + \bar{\beta} \alpha = b, \\ \alpha \beta \bar{\beta} = - c \end{cases} \end{align}
が成り立つ．よって
\begin{align} a b - c = - 2 (\alpha^2 + |\beta|^2) \mathrm{Re}(\beta) - 4 \alpha \{\mathrm{Re}(\beta)\}^2 \end{align}
となる．ここで$\alpha$，$\beta$，$\bar{\beta}$の実部が負であると仮定すると，このとき$\alpha < 0$，$\mathrm{Re}(\beta) < 0$であるから$a b - c > 0$が成立．
　逆に$a b > c$のとき，(1)より$\alpha < 0$が得られる．そして$f(x) = 0$の実数解が$x = \alpha$のみで，$f(\alpha) = 0$および$f(0) = c > 0$であることから$\alpha < x$の範囲では$f(x) > 0$であり，$x < \alpha$では$f(x) < 0$である．このことと$f(-a) < 0$から$-a < \alpha$がわかる．これを用いると，$\alpha + \beta + \bar{\beta} = - a$から
\begin{align} \mathrm{Re}(\beta) = - \frac{a + \alpha}{2} < 0 \end{align}
を得る．よって$\alpha$，$\beta$，$\bar{\beta}$の実部が負．
　以上より，示すべき命題は示された．