テンソルの台(Support)について
はじめに
$A$を可換環とし, 素イデアル$\mathfrak{p}$による$A$加群$M$の局所化を$M_{\mathfrak{p}}$で表します. $A$加群$M$に対して$M$の台(support)とは
\begin{align*}
\Supp M := \{\mathfrak{p}\in \Spec A\mid M_{\mathfrak{p}}\neq 0\}
\end{align*}
のことです. 本記事では$\Supp(M\otimes_A N)$について考察します.
有限生成の場合
有限生成の場合は次の等式が成り立ちます. Kandokoroにも載っています.
$M,N$を有限生成$A$加群とする. このとき
\begin{align*}
\Supp(M\otimes_A N) = \Supp M \cap \Supp N
\end{align*}
まず次の同型が成り立つことに注意する.
\begin{align*}
(M\otimes_A N)_{\mathfrak{p}} \cong M_{\mathfrak{p}}\otimes_{A_{\mathfrak{p}}} N_{\mathfrak{p}}
\end{align*}
よって示すべきことは次のようになる.
\begin{align*} M_{\mathfrak{p}}\otimes_{A_{\mathfrak{p}}} N_{\mathfrak{p}} \neq 0 \iff M_{\mathfrak{p}}\neq 0 \text{ かつ } N_{\mathfrak{p}}\neq 0
\end{align*}
$M_{\mathfrak{p}}=0$または$N_{\mathfrak{p}}=0$のとき, 明らかに$M_{\mathfrak{p}}\otimes_{A_{\mathfrak{p}}} N_{\mathfrak{p}}=0$である.
逆に$M_{\mathfrak{p}}\neq 0$かつ$N_{\mathfrak{p}}\neq 0$とする.
このとき$M,N$が有限生成加群であるから$M_{\mathfrak{p}}$と$N_{\mathfrak{p}}$も有限生成加群である. 中山の補題より$M_{\mathfrak{p}}/\mathfrak{p}M_{\mathfrak{p}}\neq 0$かつ$N_{\mathfrak{p}}/\mathfrak{p}N_{\mathfrak{p}}\neq 0$が得られる.
$\kappa(\mathfrak{p}):=A_{\mathfrak{p}}/\mathfrak{p}A_{\mathfrak{p}}$とすると, $M_{\mathfrak{p}}/\mathfrak{p}M_{\mathfrak{p}}$および$N_{\mathfrak{p}}/\mathfrak{p}N_{\mathfrak{p}}$は$\kappa(\mathfrak{p})$上のベクトル空間であるから, これらのテンソル積も$\kappa(\mathfrak{p})$上のベクトル空間で0でない.
\begin{align*}
(M_\mathfrak{p}/\mathfrak{p}M_\mathfrak{p})\otimes_{\kappa(\mathfrak{p})} (N_\mathfrak{p}/\mathfrak{p}N_\mathfrak{p}) \cong (M_\mathfrak{p}\otimes_{A_\mathfrak{p}} N_\mathfrak{p})/\mathfrak{p}(M_\mathfrak{p}\otimes_{A_\mathfrak{p}} N_\mathfrak{p})\neq 0
\end{align*}
となるので$M_{\mathfrak{p}}\otimes_{A_{\mathfrak{p}}} N_{\mathfrak{p}}\neq 0$が得られる.
有限生成でない場合
上の証明から分かるように, $M,N$が有限生成でなくても包含関係
\begin{align*}
\Supp(M\otimes_A N) \subset \Supp M \cap \Supp N
\end{align*}
は常に成り立ちます. 逆の包含は$M,N$が有限生成でない場合は成り立ちません.
$\mathbb{Z}$加群として$M=\mathbb{Q}$,$N=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$を考える. このとき$M$は有限生成ではない. このとき
\begin{align*}
\Supp M=\Spec\mathbb{Z},\quad \Supp N=\{(p)\}
\end{align*}
であるため$\Supp M\cap \Supp N=\{(p)\}$.
一方$M\otimes_{\mathbb{Z}}N\cong \mathbb{Q}/p\mathbb{Q}=0$となるので等号が成り立たないことが分かる.
等号が成り立つ場合を考える
以下, 有限生成でない場合にも等号が成り立つかを考えてみましょう.
case1: $M$を射影加群にする
$N$には条件を課さずに, $M$を射影加群とします. 次の定理を用います. 証明はMatsumuraなどを参照してください.
局所環上の射影加群は自由加群である.
このことを用いると
\begin{align*} M_{\mathfrak{p}}\neq 0 \text{ かつ } N_{\mathfrak{p}}\neq 0 \implies M_{\mathfrak{p}}\otimes_{A_{\mathfrak{p}}} N_{\mathfrak{p}} \neq 0
\end{align*}
が示されます. まず$M$が射影$A$加群なので$M_{\mathfrak{p}}$は射影$A_\mathfrak{p}$加群となります. $A_{\mathfrak{p}}$は局所環なので$M_{\mathfrak{p}}$は自由$A_{\mathfrak{p}}$加群です. $M_{\mathfrak{p}}\neq 0$なので空でない$\Lambda$によって
\begin{align*}
M_{\mathfrak{p}}\cong \bigoplus_{\lambda\in\Lambda}A_{\mathfrak{p}}
\end{align*}
となります. すると
\begin{align*}
M_{\mathfrak{p}}\otimes_{A_{\mathfrak{p}}} N_{\mathfrak{p}} \cong \bigoplus_{\lambda\in\Lambda}N_{\mathfrak{p}}
\end{align*}
となるので$N_{\mathfrak{p}}\neq 0$ならば$M_{\mathfrak{p}}\otimes_{A_{\mathfrak{p}}} N_{\mathfrak{p}}\neq 0$が言えます.
case2: $A$をアルティン環にする
$M,N$が有限生成であることは, 証明中では中山の補題
\begin{align*}
M_{\mathfrak{p}}\neq 0\implies M_{\mathfrak{p}}/\mathfrak{p}M_{\mathfrak{p}}\neq 0
\end{align*}
に用いました. これが$A$がアルティン環なら成り立つことを確認しましょう. $A$がアルティン環なので$A_{\mathfrak{p}}$もアルティン環です. アルティン環のJacobson根基, 特に$A_{\mathfrak{p}}$の極大イデアル$\mathfrak{m}=\mathfrak{p}A_{\mathfrak{p}}$はべき零になります. よって$M_{\mathfrak{p}}=\mathfrak{p}M_{\mathfrak{p}}$ならば
\begin{align*}
M_{\mathfrak{p}}=\mathfrak{p}M_{\mathfrak{p}}=\mathfrak{p}^2M_{\mathfrak{p}}=\cdots =0
\end{align*}
が分かります.
