小数部分を積分する

はじめに

こんにちはkzです。これが初めてのMathlogの投稿です！よろしくお願いします。

初めに注意としてこの記事では積分可能性など厳密な議論を行っていないことを言っておきます。

小数部分を積分しよう

ここで$\{x\}$で$x$の小数部分を表します。つまりガウス記号を使えば$\{x\}=x-[x]$と書き直すことができます。

今回はこの積分の$n=1,2,3$の場合について解いてみます。

$n=1$の場合

一番簡単な場合です。とりあえず$\{x\}=x-[x]$を使いたいので$x\to\frac{1}{x}$と置換してみましょう。すると
$$\int_0^1\left\{\frac{1}{x}\right\} dx=\int_1^{\infty}\frac{\{x\}}{x^2}dx=\int_1^{\infty}\frac{x-[x]}{x^2}dx$$

つぎはガウス記号の性質を使います。$n\leq x< n+1$のとき$[x]=n$となるので積分区間を分割してみます。すると
\begin{align*} \int_1^{\infty}\frac{x-[x]}{x^2}dx &=\sum_{n=1}^{\infty}\int_n^{n+1}\frac{x-n}{x^2}dx \\ &=\sum_{n=1}^{\infty}\left[\log{x}+\frac{n}{x}\right]_n^{n+1} \\ &=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\log{\frac{n+1}{n}}-\frac{1}{n+1}\right) \end{align*}

となり求める積分を無限和に帰着させることができました！

この無限和の形を見ると$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+1}$が収束しないので気になりますね。ここで次の定数を思いしましょう。

この形を無理やり作り出してみましょう！
\begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty}\left(\log{\frac{n+1}{n}}-\frac{1}{n+1}\right) &= \lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^{N}\left(\log{\frac{n+1}{n}}-\frac{1}{n+1}\right) \\ &=\lim_{N\to\infty}\left(\sum_{n=1}^{N}\left(\log{\frac{n+1}{n}}\right)+1-\log{(N+1)}-\sum_{n=1}^{N+1}\frac{1}{n}+\log{(N+1)}\right) \\ &=\lim_{N\to\infty}\left(1-\log{(N+1)}+\sum_{n=1}^N\log{\frac{n+1}{n}}-\gamma\right) \end{align*}

ここで$\log$の和は積の$\log$に直せるので
\begin{align*} \sum_{n=1}^N\log{\frac{n+1}{n}} &= \log{\prod_{n=1}^N\frac{n+1}{n}}=\log{\left(\frac{2}{1}\cdot\frac{3}{2}\cdot\frac{4}{3}\cdots\frac{N+1}{N}\right)} \\ &=\log{(N+1)} \end{align*}

よって求める和は
\begin{align*} \lim_{N\to\infty}\left(1-\log{(N+1)}+\sum_{n=1}^N\log{\frac{n+1}{n}}-\gamma\right)&=\lim_{N\to\infty}\left(1-\log{(N+1)}+\log{(N+1)}-\gamma\right) \\ &= 1-\gamma \end{align*}

よって答えは次のようになります。

なかなかきれいになりましたね。

$n=2$の場合

無限和に直すまではやることは変わりません。置換して計算を進めましょう。

\begin{align*} \int_0^1\Big\{\frac{1}{x}\Big\}^2dx &=\int_1^{\infty}\frac{\{x\}^2}{x^2}dx \\ &= \sum_{n=1}^{\infty}\int_{n}^{n+1}\frac{\{x\}^2}{x^2}dx \\ &= \sum_{n=1}^{\infty}\int_{n}^{n+1}\frac{(x-n)^2}{x^2}dx \\ &= \sum_{n=1}^{\infty}\int_{n}^{n+1}\Big(1-\frac{2n}{x}+\frac{n^2}{x^2}\Big)dx \\ &= \sum_{n=1}^{\infty}\Big(1+2n\log{\frac{n}{n+1}}+\frac{n}{n+1}\Big) \\ &= \sum_{n=1}^{\infty}\Big(2+2\log{\Big(\frac{n}{n+1}\Big)^n}-\frac{1}{n+1}\Big) \end{align*}

ここからが$n=1$の場合と比べて厄介です。とりあえずEulerの定数を作り出してみましょう。
\begin{align*} &\lim_{N \to \infty}\left(2N+2\sum_{n=1}^N\log{\left(\frac{n}{n+1}\right)^n}-\log{(N+1)}+1+\log{(N+1)}-\sum_{n=1}^{N+1}\frac{1}{n}\right) \\ &= \lim_{N \to \infty}\left(2N-\log{(N+1)}+1+2\sum_{n=1}^N\log{\left(\frac{n}{n+1}\right)^n}-\gamma\right) \end{align*}

残りの和を$n=1$のときと同じように積に直してみましょう。
\begin{align*} \sum_{n=1}^N\log{\left(\frac{n}{n+1}\right)^n}&=\log{\prod_{n=1}^N\left(\frac{n}{n+1}\right)^n} \\ &= \log{\left(\frac{1^1}{2^1}\cdot\frac{2^2}{3^2}\cdot\frac{3^3}{4^3}\cdots\frac{(N-1)^{N-1}}{N^{N-1}}\cdot\frac{N^N}{(N+1)^N}\right)} \\ &= \log{\frac{N!}{(N+1)^N}} \end{align*}

よって
\begin{align*} &\lim_{N \to \infty}\left(2N-\log{(N+1)}+1+2\sum_{n=1}^N\log{\left(\frac{n}{n+1}\right)^n}-\gamma\right)\\ &=1-\gamma+\lim_{N \to \infty}\left(2N-\log{(N+1)}+2\log{\frac{N!}{(N+1)^N}}\right) \\ &= 1-\gamma+\lim_{N \to \infty}\log{\left(\frac{(N!)^2e^{2N}}{(N+1)^{2N+1}}\right)} \\ \end{align*}

残りは$\log$の中身の極限を求めるだけです。この極限はStirlingの公式を用いれば求められます。

これを認めれば簡単に極限がわかりますね
\begin{align*} \lim_{N\to\infty}\frac{(N!)^2e^{2N}}{(N+1)^{2N+1}} &= \lim_{N\to\infty}\left(\frac{N!e^{N}}{(N+1)^{N+\frac{1}{2}}}\right)^2 \\ &= \lim_{N\to\infty}\left(\frac{N!e^{N}}{N^{N+\frac{1}{2}}}\cdot\left(\frac{N}{N+1}\right)^{N+\frac{1}{2}}\right)^2 \\ &= \lim_{N\to\infty}\left(\sqrt{2\pi}\left(1-\frac{1}{N+1}\right)^{(N+1)\cdot\frac{N+\frac{1}{2}}{N+1}}\right)^2 \\ &= \frac{2\pi}{e^2} \end{align*}

これを代入して
\begin{align*} 1-\gamma+\lim_{N \to \infty}\log{\left(\frac{(N!)^2e^{2N}}{(N+1)^{2N+1}}\right)}&=1-\gamma+\log\left(\frac{2\pi}{e^2}\right) \\ &= \log{2\pi}-\gamma-1 \end{align*}

よって答えは次のようになります。

$n=3$の場合

同じように和の形までもっていきましょう。気合が大事。
\begin{align*} \int_0^1\left\{\frac{1}{x}\right\}^3 dx &= \int_1^{\infty}\frac{\{x\}^3}{x^2}dx \\ &= \int_1^{\infty}\frac{(x-[x])^3}{x^2}dx \\ &= \sum_{n=1}^{\infty}\int_n^{n+1}\frac{x^3-3nx^2+3n^2x-n^3}{x^2}dx \\ &= \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2n+1}{2}-3n+3n^2\log{\frac{n+1}{n}}-\frac{n^2}{n+1}\right) \\ &=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{3}{2}-3n+3n^2\log{\frac{n+1}{n}}-\frac{1}{n+1}\right) \end{align*}

Eulerの定数を作ると
\begin{align*} \lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^{N}\left(\frac{3}{2}-3n+3n^2\log{\frac{n+1}{n}}-\frac{1}{n+1}\right)&=\lim_{N\to\infty}\left(\frac{3}{2}N-\frac{3}{2}N(N+1)+3\sum_{n=1}^{N}\log{\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n^2}}+1-\log{(N+1)}+\log{(N+1)}-\sum_{n=1}^{N+1}\frac{1}{n}\right) \\ &= \lim_{N\to\infty}\left(1-\frac{3}{2}N^2-\log{(N+1)+3\sum_{n=1}^{N}\log{\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n^2}}}-\gamma\right) \end{align*}

和を積に直して計算してみましょう。
\begin{align*} \sum_{n=1}^{N}\log{\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n^2}} &= \log{\prod_{n=1}^{N}\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n^2}} \\ &= \log\left(\frac{2^{1^2}}{1^{1^2}}\cdot\frac{3^{2^2}}{2^{2^2}}\cdot\frac{4^{3^2}}{3^{3^2}}\cdot\frac{5^{4^2}}{4^{4^2}}\cdots\frac{N^{(N-1)^2}}{(N-1)^{(N-1)^2}}\cdot\frac{(N+1)^{N^2}}{N^{N^2}}\right) \end{align*}

ここで$k=2,3\cdots N$とすれば
$$ \frac{k^{(k-1)^2}}{k^{k^2}}=k^{(k-1)^2-k^2}=k^{-2k+1} $$
と約分できるので
\begin{align*} \log\left(\frac{2^{1^2}}{1^{1^2}}\cdot\frac{3^{2^2}}{2^{2^2}}\cdot\frac{4^{3^2}}{3^{3^2}}\cdot\frac{5^{4^2}}{4^{4^2}}\cdots\frac{N^{(N-1)^2}}{(N-1)^{(N-1)^2}}\cdot\frac{(N+1)^{N^2}}{N^{N^2}}\right) &= \log\left(\frac{(N+1)^{N^2}}{1^{1}\cdot 2^{3}\cdot 3^{5}\cdot 4^{7}\cdots N^{2N-1}}\right) \end{align*}

よって
\begin{align*} &\lim_{N\to\infty}\left(1-\frac{3}{2}N^2-\log{(N+1)+3\sum_{n=1}^{N}\log{\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n^2}}}-\gamma\right) \\ &= \lim_{N\to\infty}\left(1-\frac{3}{2}N^2-\log{(N+1)+3\log\left(\frac{(N+1)^{N^2}}{1^{1}\cdot 2^{3}\cdot 3^{5}\cdot 4^{7}\cdots N^{2N-1}}\right)}-\gamma\right) \\ &=1-\gamma+\lim_{N\to\infty}\log\left(\frac{(N+1)^{3N^2-1}e^{-\frac{3}{2}N^2}}{(1^{1}\cdot 2^{3}\cdot 3^{5}\cdot 4^{7}\cdots N^{2N-1})^3}\right) \end{align*}

この極限値を表すには次の定数を用いる必要があります。

この式をうまいこと作りだしましょう！
\begin{align*} \lim_{N\to\infty}\frac{(N+1)^{3N^2-1}e^{-\frac{3}{2}N^2}}{(1^{1}\cdot 2^{3}\cdot 3^{5}\cdot 4^{7}\cdots N^{2N-1})^3}&=\lim_{N\to\infty}\left(\frac{1^{1}\cdot 2^{3}\cdot 3^{5}\cdot 4^{7}\cdots N^{2N-1}e^{\frac{N^2}{2}}}{(N+1)^{N^2-\frac13}}\right)^{-3} \\ &= \lim_{N\to\infty}\left(\frac{(1^{1}\cdot 2^{2}\cdot 3^{3}\cdot 4^{4}\cdots N^{N})^2e^{\frac{N^2}{2}}}{N^{N^2+N+\frac{1}{6}}}\cdot\frac{N^{N^2+N+\frac{1}{6}}}{N!(N+1)^{N^2-\frac13}}\right)^{-3} \\ &=\lim_{N\to\infty}\left(\frac{1^{1}\cdot 2^{2}\cdot 3^{3}\cdot 4^{4}\cdots N^{N}e^{\frac{N^2}{4}}}{N^{\frac{N^2}{2}+\frac{N}{2}+\frac{1}{12}}}\right)^{-6}\left(\frac{N^{N+\frac12}}{N!e^N}\cdot\frac{e^NN^{N^2+N+\frac{1}{6}}}{N^{N+\frac12}(N+1)^{N^2-\frac13}}\right)^{-3} \\ &= A^{-6}\cdot (2\pi)^{\frac32}\lim_{N\to\infty}e^{-3N}\left(\frac{N}{N+1}\right)^{-3N^2+1} \end{align*}

よって
\begin{align*} &1-\gamma+\log{\left(A^{-6}\cdot (2\pi)^{\frac32}\lim_{N\to\infty}e^{-3N}\left(\frac{N}{N+1}\right)^{-3N^2+1}\right)} \\ &= \frac32\log(2\pi)-6\log{A}-\gamma+1+\lim_{N\to\infty}\left(-3N+(-3N^2+1)\log\left(\frac{N}{N+1}\right)\right) \end{align*}

最後に$\displaystyle \log\left(\frac{N}{N+1}\right)=-\frac{1}{N+1}-\frac{1}{2(N+1)^2}+O\left(\frac{1}{(N+1)^3}\right)$とテイラー展開できるので
\begin{align*} \lim_{N\to\infty}\left(-3N+(-3N^2+1)\log\left(\frac{N}{N+1}\right)\right) &= \lim_{N\to\infty}\left(-3N+(3N^2-1)\left(\frac{1}{N+1}+\frac{1}{2(N+1)^2}+O\left(\frac{1}{(N+1)^3}\right)\right)\right) \\ &= \lim_{N\to\infty}\left(-3N+\frac{3N^2-1}{N+1}+\frac{3N^2-1}{2(N+1)^2}+O\left(\frac{1}{N}\right)\right) \\ &= \lim_{N\to\infty}\left(\frac{-3N^2-8N-3}{2(N+1)^2}+O\left(\frac{1}{N}\right)\right) \\ &= -\frac32 \end{align*}
これで目的の値がわかりました。

終わりに

今回は$n=3$までの場合を解いてみました。

ちなみにGlaisher–Kinkelinの定数はStirlingの公式の拡張になっています。詳しくは こちら