小数部分を積分する

はじめに

こんにちはkzです。これが初めてのMathlogの投稿です！よろしくお願いします。

初めに注意としてこの記事では積分可能性など厳密な議論を行っていないことを言っておきます。

小数部分を積分しよう

ここで$\{x\}$で$x$の小数部分を表します。つまりガウス記号を使えば$\{x\}=x-[x]$と書き直すことができます。

今回はこの積分の$n=1,2,3$の場合について解いてみます。

$n=1$の場合

一番簡単な場合です。とりあえず$\{x\}=x-[x]$を使いたいので$x\to \frac{1}{x}$と置換してみましょう。すると
$${\int }_0^1\left\{\frac{1}{x}\right\}dx={\int }_1^{\mathrm{\infty }}\frac{\{x\}}{x^2}dx={\int }_1^{\mathrm{\infty }}\frac{x-[x]}{x^2}dx$$

つぎはガウス記号の性質を使います。$n\le x<n+1$のとき$[x]=n$となるので積分区間を分割してみます。すると
$$\begin{array}{rl}{\int }_1^{\mathrm{\infty }}\frac{x-[x]}{x^2}dx& =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\int }_n^{n+1}\frac{x-n}{x^2}dx\\ & =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{[\log x+\frac{n}{x}]}_n^{n+1}\\ & =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\log \frac{n+1}{n}-\frac{1}{n+1})\end{array}$$

となり求める積分を無限和に帰着させることができました！

この無限和の形を見ると${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n+1}}$が収束しないので気になりますね。ここで次の定数を思いしましょう。

この形を無理やり作り出してみましょう！
$$\begin{array}{rl}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\log \frac{n+1}{n}-\frac{1}{n+1})& =\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{n=1}^N(\log \frac{n+1}{n}-\frac{1}{n+1})\\ & =\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}(\sum _{n=1}^N(\log \frac{n+1}{n})+1-\log (N+1)-\sum _{n=1}^{N+1}\frac{1}{n}+\log (N+1))\\ & =\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}(1-\log (N+1)+\sum _{n=1}^N\log \frac{n+1}{n}-\gamma )\end{array}$$

ここで$\log$の和は積の$\log$に直せるので
$$\begin{array}{rl}\sum _{n=1}^N\log \frac{n+1}{n}& =\log \prod _{n=1}^N\frac{n+1}{n}=\log (\frac{2}{1}\cdot \frac{3}{2}\cdot \frac{4}{3}\cdots \frac{N+1}{N})\\ & =\log (N+1)\end{array}$$

よって求める和は
$$\begin{array}{rl}\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}(1-\log (N+1)+\sum _{n=1}^N\log \frac{n+1}{n}-\gamma )& =\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}(1-\log (N+1)+\log (N+1)-\gamma )\\ & =1-\gamma \end{array}$$

よって答えは次のようになります。

なかなかきれいになりましたね。

$n=2$の場合

無限和に直すまではやることは変わりません。置換して計算を進めましょう。

$$\begin{array}{rl}{\int }_0^1\{\frac{1}{x}{\}}^{2}dx& ={\int }_1^{\mathrm{\infty }}\frac{\{x{\}}^2}{x^2}dx\\ & =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\int }_n^{n+1}\frac{\{x{\}}^2}{x^2}dx\\ & =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\int }_n^{n+1}\frac{(x-n{)}^2}{x^2}dx\\ & =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\int }_n^{n+1}(1-\frac{2n}{x}+\frac{n^2}{x^2})dx\\ & =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1+2n\log \frac{n}{n+1}+\frac{n}{n+1})\\ & =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(2+2\log (\frac{n}{n+1}{)}^n-\frac{1}{n+1})\end{array}$$

ここからが$n=1$の場合と比べて厄介です。とりあえずEulerの定数を作り出してみましょう。
$$\begin{array}{rl}& \underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}(2N+2\sum _{n=1}^N\log {\left(\frac{n}{n+1}\right)}^n-\log (N+1)+1+\log (N+1)-\sum _{n=1}^{N+1}\frac{1}{n})\\ & =\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}(2N-\log (N+1)+1+2\sum _{n=1}^N\log {\left(\frac{n}{n+1}\right)}^n-\gamma )\end{array}$$

残りの和を$n=1$のときと同じように積に直してみましょう。
$$\begin{array}{rl}\sum _{n=1}^N\log {\left(\frac{n}{n+1}\right)}^n& =\log \prod _{n=1}^N{\left(\frac{n}{n+1}\right)}^n\\ & =\log (\frac{1^1}{2^1}\cdot \frac{2^2}{3^2}\cdot \frac{3^3}{4^3}\cdots \frac{(N-1{)}^{N-1}}{N^{N-1}}\cdot \frac{N^N}{(N+1{)}^N})\\ & =\log \frac{N!}{(N+1{)}^N}\end{array}$$

よって
$$\begin{array}{rl}& \underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}(2N-\log (N+1)+1+2\sum _{n=1}^N\log {\left(\frac{n}{n+1}\right)}^n-\gamma )\\ & =1-\gamma +\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}(2N-\log (N+1)+2\log \frac{N!}{(N+1{)}^N})\\ & =1-\gamma +\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}\log \left(\frac{(N!{)}^2{e}^{2N}}{(N+1{)}^{2N+1}}\right)\end{array}$$

残りは$\log$の中身の極限を求めるだけです。この極限はStirlingの公式を用いれば求められます。

これを認めれば簡単に極限がわかりますね
$$\begin{array}{rl}\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{(N!{)}^2{e}^{2N}}{(N+1{)}^{2N+1}}& =\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}{\left(\frac{N!e^N}{(N+1{)}^{N+\frac{1}{2}}}\right)}^2\\ & =\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}{(\frac{N!e^N}{N^{N+\frac{1}{2}}}\cdot {\left(\frac{N}{N+1}\right)}^{N+\frac{1}{2}})}^2\\ & =\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}{\left(\sqrt{2\pi }{(1-\frac{1}{N+1})}^{(N+1)\cdot \frac{N+\frac{1}{2}}{N+1}}\right)}^2\\ & =\frac{2\pi }{e^2}\end{array}$$

これを代入して
$$\begin{array}{rl}1-\gamma +\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}\log \left(\frac{(N!{)}^2{e}^{2N}}{(N+1{)}^{2N+1}}\right)& =1-\gamma +\log \left(\frac{2\pi }{e^2}\right)\\ & =\log 2\pi -\gamma -1\end{array}$$

よって答えは次のようになります。

$n=3$の場合

同じように和の形までもっていきましょう。気合が大事。
$$\begin{array}{rl}{\int }_0^1{\left\{\frac{1}{x}\right\}}^{3}dx& ={\int }_1^{\mathrm{\infty }}\frac{\{x{\}}^3}{x^2}dx\\ & ={\int }_1^{\mathrm{\infty }}\frac{(x-[x]{)}^3}{x^2}dx\\ & =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\int }_n^{n+1}\frac{x^3-3n{x}^2+3n^{2}x-n^3}{x^2}dx\\ & =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{2n+1}{2}-3n+3n^2\log \frac{n+1}{n}-\frac{n^2}{n+1})\\ & =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{3}{2}-3n+3n^2\log \frac{n+1}{n}-\frac{1}{n+1})\end{array}$$

Eulerの定数を作ると
$$\begin{array}{rl}\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{n=1}^N(\frac{3}{2}-3n+3n^2\log \frac{n+1}{n}-\frac{1}{n+1})& =\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{3}{2}N-\frac{3}{2}N(N+1)+3\sum _{n=1}^N\log {\left(\frac{n+1}{n}\right)}^{n^2}+1-\log (N+1)+\log (N+1)-\sum _{n=1}^{N+1}\frac{1}{n})\\ & =\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}(1-\frac{3}{2}{N}^2-\log (N+1)+3\sum _{n=1}^N\log {\left(\frac{n+1}{n}\right)}^{n^2}-\gamma )\end{array}$$

和を積に直して計算してみましょう。
$$\begin{array}{rl}\sum _{n=1}^N\log {\left(\frac{n+1}{n}\right)}^{n^2}& =\log \prod _{n=1}^N{\left(\frac{n+1}{n}\right)}^{n^2}\\ & =\log (\frac{2^{1^2}}{1^{1^2}}\cdot \frac{3^{2^2}}{2^{2^2}}\cdot \frac{4^{3^2}}{3^{3^2}}\cdot \frac{5^{4^2}}{4^{4^2}}\cdots \frac{N^{(N-1{)}^2}}{(N-1{)}^{(N-1{)}^2}}\cdot \frac{(N+1{)}^{N^2}}{N^{N^2}})\end{array}$$

ここで$k=2,3\cdots N$とすれば
$$\frac{k^{(k-1{)}^2}}{k^{k^2}}=k^{(k-1{)}^2-k^2}=k^{-2k+1}$$
と約分できるので
$$\begin{array}{rl}\log (\frac{2^{1^2}}{1^{1^2}}\cdot \frac{3^{2^2}}{2^{2^2}}\cdot \frac{4^{3^2}}{3^{3^2}}\cdot \frac{5^{4^2}}{4^{4^2}}\cdots \frac{N^{(N-1{)}^2}}{(N-1{)}^{(N-1{)}^2}}\cdot \frac{(N+1{)}^{N^2}}{N^{N^2}})& =\log \left(\frac{(N+1{)}^{N^2}}{1^1\cdot 2^3\cdot 3^5\cdot 4^7\cdots N^{2N-1}}\right)\end{array}$$

よって
$$\begin{array}{rl}& \underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}(1-\frac{3}{2}{N}^2-\log (N+1)+3\sum _{n=1}^N\log {\left(\frac{n+1}{n}\right)}^{n^2}-\gamma )\\ & =\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}(1-\frac{3}{2}{N}^2-\log (N+1)+3\log \left(\frac{(N+1{)}^{N^2}}{1^1\cdot 2^3\cdot 3^5\cdot 4^7\cdots N^{2N-1}}\right)-\gamma )\\ & =1-\gamma +\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}\log \left(\frac{(N+1{)}^{3N^2-1}{e}^{-\frac{3}{2}{N}^2}}{(1^1\cdot 2^3\cdot 3^5\cdot 4^7\cdots N^{2N-1}{)}^3}\right)\end{array}$$

この極限値を表すには次の定数を用いる必要があります。

この式をうまいこと作りだしましょう！
$$\begin{array}{rl}\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{(N+1{)}^{3N^2-1}{e}^{-\frac{3}{2}{N}^2}}{(1^1\cdot 2^3\cdot 3^5\cdot 4^7\cdots N^{2N-1}{)}^3}& =\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}{\left(\frac{1^1\cdot 2^3\cdot 3^5\cdot 4^7\cdots N^{2N-1}{e}^{\frac{N^2}{2}}}{(N+1{)}^{N^2-\frac{1}{3}}}\right)}^{-3}\\ & =\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}{(\frac{(1^1\cdot 2^2\cdot 3^3\cdot 4^4\cdots N^N{)}^2{e}^{\frac{N^2}{2}}}{N^{N^2+N+\frac{1}{6}}}\cdot \frac{N^{N^2+N+\frac{1}{6}}}{N!(N+1{)}^{N^2-\frac{1}{3}}})}^{-3}\\ & =\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}{\left(\frac{1^1\cdot 2^2\cdot 3^3\cdot 4^4\cdots N^N{e}^{\frac{N^2}{4}}}{N^{\frac{N^2}{2}+\frac{N}{2}+\frac{1}{12}}}\right)}^{-6}{(\frac{N^{N+\frac{1}{2}}}{N!e^N}\cdot \frac{e^N{N}^{N^2+N+\frac{1}{6}}}{N^{N+\frac{1}{2}}(N+1{)}^{N^2-\frac{1}{3}}})}^{-3}\\ & =A^{-6}\cdot (2\pi {)}^{\frac{3}{2}}\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}{e}^{-3N}{\left(\frac{N}{N+1}\right)}^{-3N^2+1}\end{array}$$

よって
$$\begin{array}{rl}& 1-\gamma +\log (A^{-6}\cdot (2\pi {)}^{\frac{3}{2}}\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}{e}^{-3N}{\left(\frac{N}{N+1}\right)}^{-3N^2+1})\\ & =\frac{3}{2}\log \left(2\pi \right)-6\log A-\gamma +1+\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}(-3N+(-3N^2+1)\log \left(\frac{N}{N+1}\right))\end{array}$$

最後に${\displaystyle \log \left(\frac{N}{N+1}\right)=-\frac{1}{N+1}-\frac{1}{2(N+1{)}^2}+O\left(\frac{1}{(N+1{)}^3}\right)}$とテイラー展開できるので
$$\begin{array}{rl}\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}(-3N+(-3N^2+1)\log \left(\frac{N}{N+1}\right))& =\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}(-3N+(3N^2-1)(\frac{1}{N+1}+\frac{1}{2(N+1{)}^2}+O\left(\frac{1}{(N+1{)}^3}\right)))\\ & =\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}(-3N+\frac{3N^2-1}{N+1}+\frac{3N^2-1}{2(N+1{)}^2}+O\left(\frac{1}{N}\right))\\ & =\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{-3N^2-8N-3}{2(N+1{)}^2}+O\left(\frac{1}{N}\right))\\ & =-\frac{3}{2}\end{array}$$
これで目的の値がわかりました。

終わりに

今回は$n=3$までの場合を解いてみました。

ちなみにGlaisher–Kinkelinの定数はStirlingの公式の拡張になっています。詳しくは こちら