現代数学解説

Oreの定理(指数が最小の素因子なら正規)

群作用,表現論,正規部分群

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群論でよく知られた命題の一つに，次の命題がある．

Ore's theorem

有限群 $G$ に対して， $| G |$ を割り切る最小の素因子を $p$ とする．このとき，指数が $p$ の部分群は正規部分群である．

この定理にはいくつかの証明があるので，それを紹介していこうと思う．この記事では $x^{k} = k^{- 1} x k$ のように略記する．またこの記事においては，Lagrangeの定理の使用をいちいち断らない．

剰余群をうまく使う

一つ目の証明のためには次の補題を使う．

$G$ が真の部分群の積 $H K$ に等しいなら， $H, K$ は $G$ の中で共役ではない．

$G = H K$ だから $G$ の任意の元 $x$ は $x = h k, h \in H, k \in K$ のように書ける．よって
$H^{x} = H^{h k} = H^{k}$
となる．ここで $H, K$ が共役であると仮定すると，ある $x \in G$ がって $K = H^{x}$ だが，上の変形によって $K = H^{k}$ としてよい．そうすれば，
$G = G^{k} = (H K)^{k} = H^{k} K^{k} = K K = K$
となって， $K$ が真部分群であることに反する．

これを用いることで，元の命題は次のように示すことができる．

$G$ の指数 $p$ の部分群 $H, K$ があって $H$ と $K$ が共役であるとする．このとき $H \cap K \subset H$ であることと， $H \neq K$ に注意すれば
$\begin{array}{r} p = [G : K] \geq [H : H \cap K] > 1 \end{array}$
でなくてはならないから， $p$ が $| G |$ を割り切る最小の素数であることにより $[H : H \cap K] = p$ でなければならない．よって積の法則から $| H K | = | K | [H : H \cap K] = | G |$ であることと $H K \subset G$ によって $G = H K$ ．これは補題2と仮定に反するから， $H = K$ でなければならず $H$ は正規．

この証明とかなり似た証明を別に書くことができるが，ここでは述べないことにする．

群作用

群作用を用いることでより簡潔に示すことができる．集合 $X$ 上の置換群を $Σ (X)$ としておく．

$G$ の $H$ による左剰余類への作用によって誘導される準同型 $ϕ : G \to Σ (G / H) ≅ S_{p}$ を考える．このとき核は正規部分群だから， $\ker ϕ = H$ を示せばよい． $h \in \ker H$ なら， $h H = H$ より $h \in H$ で， $\ker ϕ \leq H$ となる．また，
$\begin{aligned} | im ϕ | & = | G / \ker ϕ | = [G : H] [H : \ker ϕ] \\ = p [H : \ker ϕ] \end{aligned}$
である．ここで $| im ϕ |$ は $p!$ の約数になるので， $[H : \ker ϕ] \neq 1$ とすると $p$ 以下の素因子を $| H |$ が持つことになり， $p$ の最小性に反する．

表現論

群作用で示す場合とほとんど大差ないが，表現論を用いて示すこともできる．まず，次の補題を示す必要がある．

有限群 $G$ とその部分群 $H, K$ に対してぐん
$\begin{array}{r} {⟨ {Ind}_{H}^{G} 1_{H}, {Ind}_{K}^{G} 1_{K} ⟩}_{G} \end{array}$
は両側剰余類 $H ∖ G / K$ の個数と等しくなる．

あまり名前が定まっていないが，この論文の初めの方で見ることができる．

Frobeniusの相互律から，
$\begin{aligned} {⟨ {Ind}_{H}^{G} 1_{H}, {Ind}_{K}^{G} 1_{K} ⟩}_{G} & = {⟨ 1, {Res}_{H}^{G} {Ind}_{K}^{G} 1_{K} ⟩}_{H} \\ = \dim (C [G / K])^{H} \end{aligned}$
だから，作用 $H ↷ G / K$ に対してBurnsideの補題を用いることによって，
$\begin{array}{r} \dim (C [G / K])^{H} = \dim C [H ∖ G / K] \end{array}$
がわかるので，補題が従う．(直接商写像を考えてもよい)

これを用いて求めていた定理を示すことができる．

$H$ が正規でないと仮定する．まず， $G$ の $H$ による左剰余類への作用によって置換表現
$\begin{array}{r} ρ : G \to GL (V), V := C [G / H] \end{array}$
という置換表現が得られて，この表現の次数は $p$ である．このとき，
$\sum_{g \in G / H} g$
は $V$ 不変で，Maschkeの定理から
$W := {\sum_{g \in G / H} a_{g} g \in V : \sum_{g \in G / H} a_{g} = 0}$
も $G$ 不変でならなければならない．よって， $ρ$ の指標を $χ$ とすると指標 $ψ$ があって
$\begin{array}{r} χ = 1 + ψ, ψ (1) = p - 1 \end{array}$
となるはずである．ここで，補題3と， $H$ が正規でないという仮定から $p$ が素数なので
$\begin{array}{r} {⟨ χ, χ ⟩}_{G} = 2 \end{array}$
となって，
$\begin{aligned} {⟨ ψ, ψ ⟩}_{G} & = {⟨ χ, χ ⟩}_{G} - 2 {⟨ χ, 1 ⟩}_{G} + {⟨ 1, 1 ⟩}_{G} \\ = 2 - 2 \dim V^{G} + 1 \\ = 1 \end{aligned}$
だから $ψ$ は既約．またその次数は $ψ (1) = p - 1$ であることがわかる．ここで $p > 3$ なら，既約次数が $| G |$ を割ることに注意すると $p$ の最小性に反することになるから， $H$ は正規部分群．
$p = 2$ の場合も， $G / H ≅ S_{2}$ の置換符号に $ψ$ は一致するので， $S_{2}$ の符号表現 $sgn$ と $ψ : G \to Σ (G / H)$ の合成 $ψ = sgn \circ ϕ$ と書けることになる．この表現の核が $H$ に一致するから，結果として $H$ は正規．