こんにちは、高3のぱぺです。
本編の前にちょっと雑談をしましょう。飛ばしても構いません。
今回は数学Aの組み合わせの問題を$4$題出します。
一部問題演習に使えるかと思います。第$4$問はお気に入りの(自信作の)自作問題なので、得意な方はぜひ挑戦してみてください。
解答はまえがきのようにアコーディオン機能を用います。
図のように、一辺$1$の正三角形$2$つと正方形$1$つを図$1$のように組み合わせて図形$D_1$をつくる。このとき$D_1$は$6$頂点をもつ。
$n$を自然数とする。$n$個の$D_1$を図$2$のように横に連結させ、図形$D_n$をつくる。このとき$D_n$は$4n+2$個の頂点をもつ。
以下の問いに答えよ。
図$1(D_1)$, 図$2(D_n)$
$\text{(1)}$ $D_1$の$6$頂点を黒と白のちょうど$2$色で塗り分ける。こうしてできる図形は何種類できるか。
ただし、反転・回転をして一致するものは同じ塗り分け方、すべての白と黒を逆転したものは異なる塗り分け方とみなす。
$\text{(2)}$ $D_n$の$4n+2$個の頂点を黒と白のちょうど$2$色で塗り分ける。こうしてできる図形は何種類できるか。$n$を用いて表せ。
ただし、反転・回転をして一致するものは同じ塗り分け方、すべての白と黒を逆転したものは異なる塗り分け方とみなす。
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以下解答です。
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$A,B,C$をそれぞれ1以上$n$以下の自然数とする。
$f(1)=A, \; f(0)=B, \; f(-1)=C$ を満たすような$2$次以下の$x$の整式$f(x)$を考える。
ここで、$f(x)$が整数係数の$x$の$2$次式であるような$(A,B,C)$の組の個数を$N(n)$とする。
実数$x$に対して、$x$を超えない最大の整数を$\displaystyle \left[x\right]$と表すとして、以下の問いに答えよ。
$\text{(1)} \hspace{1em}$ $\displaystyle I=\left[\frac{n+1}{2}\right]$ とおくとき、$N(n)$を$n,I$を用いて表せ。
$\text{(2)} \hspace{1em}$ 極限$\displaystyle \lim_{n\rightarrow ∞} \frac{N(n)}{n^3}$ を求めよ。
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以下解答です。
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$\text{H,I,G,H,S,C,H,O,O,L}$の$10$文字を並べ替えて文字列をつくる。次の条件を満たすものはそれぞれ何種類あるか。
$\text{(1)}$ $\text{S}$で始まり$\text{L}$で終わる
$\text{(2)}$ $\text{H}$が$2$文字だけ連続するが、$\text{O}$どうしは連続しない
$\text{(3)}$ 同じ文字が連続しない
$\text{(4)}$ 文字列$\text{HO}$を$1$つだけ含み、そのどちらの隣にも$\text{H}$や$\text{O}$は位置しない(ただし$\text{HO}$は端にあってもよい。)
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以下解答です。
$n \geq 2$ とし、集合$S_n=\left\{x\in\mathbb{Z} \;| \; 0\leq x< n\right\}$ とする。
$S_n$に対して、次の操作$A_n$を行う。
[操作$Aₙ$]
すべての$x\in S_n$に対して、$2x \equiv y \pmod n$ を満たす $S_n$ の要素$y$をすべて考え、それぞれに対して「$x \rightarrow y$」のようにして、$x$と$y$を矢印で繋げる。$2x \equiv x \pmod n$ ならば、$x \rightarrow x$ と繋げる。
矢印を繋いでできたまとまりを$1$つの「チェーン」と呼ぶことにする。
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例:$n=6$のとき、チェーンは$2$個できる。
以下$ \pmod 6$
\begin{aligned} \qquad &0\times 2 =0 \equiv 0 , \qquad 1\times 2 =2 \equiv 2 , \qquad 2\times 2 =4 \equiv 4 ,\\ \qquad &3\times 2 =6 \equiv 0 , \qquad 4\times 2 =8 \equiv 2 , \qquad 5\times 2 =10 \equiv 4 \end{aligned}
$n=6$
例:$n=7$のとき、チェーンは3個できる。
以下$ \pmod 7$
\begin{aligned} \qquad &0\times 2 =0 \equiv 0 , \qquad 1\times 2 =2 \equiv 2 , \qquad 2\times 2 =4 \equiv 4 , \qquad 3\times 2 =6 \equiv 6 , \\ \qquad &4\times 2 =8 \equiv 1 , \qquad 5\times 2 =10 \equiv 3 , \qquad 6\times 2 =12 \equiv 5 \end{aligned}
$n=7$
このとき、次の問いに答えよ。
$\displaystyle (1)$ $n=15$のとき、チェーンは何個できるか。
$\displaystyle (2)$ $n$が奇数のとき、どのチェーンも$n=6$のように枝分かれすることなく、$n=7$のように環状にできることを示せ。
$\displaystyle (3)$ $n=2^k-1\;(k\geq2)$ のとき、$i=0,1,2,...,k-1$に対して $d_i \in \left\{0,1\right\}$ とする。
$\hspace{2.5em}$ $\displaystyle x=\sum_{i=0}^{k-1} 2^id_i \quad=2^{k-1}d_{k-1}+2^{k-2}d_{k-2}+\dots+2^2d_2+2^1d_1+d_0$
$\hspace{1.5em}$で表される$x\in S_n$について、$y\equiv 2x \pmod n$ かつ $y\in S_n$ を満たす整数$y$を、$d_0,d_1,d_2,\dots ,d_{k-1}$を用いて表せ。
$\displaystyle (4)$ $n=4095$のとき、チェーンは何個できるか。
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以下解答です。
最後に作ったのが$\text{(3)}$なんですが、最初に$3$問作ったときに友達から「どうせならもう$1$問作って$4$問にしないか」と言われたので作りました。
また、7月に いいねの数だけ作問をするツイート をしたので、今回は$\text{(2)(3)}$を最初の$2$問とさせてください。
2025.7.13.8:50 投稿
~ 2025.7.13.16:15 少々修正
2025.7.14 誤字など修正