
&&&rem 全般的に議論が矛盾,飛躍している
現象に対する理解が進んでいないので、議論を正当化することが出来ていない状態で記事を書いているため、数学的な矛盾を含む。微分演算子計算のどこまでが有効かを調べて、Borel総和法などのような有用な道具を作れないか、$\mathrm{erf}$関数の等式群の導出,背景の理解ができないかを考察している。

そして一連の公式はwikipediaを参照している。
自分の専門(表現論)と関係するトピックか？というとそうでもないので少しどうでもいいテンションだが、結果が美しいので記事にした次第である。
&&&


&&&def
誤差関数$\mathrm{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt\pi}\int_0^xe^{-t^2}dt$
相補誤差関数$\mathrm{erfc}(x)=1-\mathrm{erf}(x)$
正規相補誤差関数(scaled complementary error function)
$\mathrm{erfcx}(x)=e^{x^2}\mathrm{erfc}(x) $
&&&
漸近展開は超幾何級数を用いて
$\mathrm{erfcx}(x)\approx \frac1{x\sqrt{\pi}}~_2F_0(1,\frac12;;-\frac1{x^2})$
となる。これを$x=+\infty $における収束半径0の形式的ベキ級数展開と解釈して
$$\mathrm{erfcx}(x)=\frac1{\sqrt\pi}e^{-\frac14\p^2}\cdot \frac1x=\frac1{\sqrt\pi}\sum_{n=0}^\infty\frac{(2n)!}{4^nn!}(-1)^nx^{-1-2n}$$
$$\mathrm{erf}(x)=1-e^{-x^2}e^{-\frac{1}{4}\p^2}\cdot\frac1{x}$$
と書ける。しかし$\mathrm{erf}$が奇関数であることを踏まえると定数項が正しくないように思える(矛盾)


次の公式について考える(あと一歩のところで"証明"が完成しない)
&&&fml
$$\frac1{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\int_{-\infty}^\infty \mathrm{erf}(ax+b)\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)dx=\mathrm{erf}\left(\frac{a\mu+b}{\sqrt{1+2a^2\sigma^2}}\right)$$
&&&

$$e^{\frac{\sigma^2}2\p^2}\cdot  \mathrm{erf}(ax)=\mathrm{erf}(ax/\sqrt A)$$
次の$SL(2,\mathbb C)$の式が成立する。ただし$A=1+2a^2\sigma^2  $
\begin{align}
	\left(
		\begin{array}{cc}
			A & 0 \\
			0 & A^{-1}
		\end{array}
	\right)
=	
	\left(
	\left(
		\begin{array}{cc}
			1 & 0 \\
			-\sigma^2i & 1
		\end{array}
	\right)
\left(
		\begin{array}{cc}
			1 & 2ia^2 \\
			0 & 1
		\end{array}
	\right)
	\left(
		\begin{array}{cc}
			1 & 0 \\
			i/(2a^2) & 1
		\end{array}
	\right)
	\right)^{-1}
	\left(
		\begin{array}{cc}
			1 & 2ia^2/A \\
			0 & 1
		\end{array}
	\right)
	\left(
		\begin{array}{cc}
			1 & 0 \\
			iA/(2a^2) & 1
		\end{array}
	\right)
\end{align}
[LCT](https://mathlog.info/articles/2888)を用いる次が定義式から成立する。
\begin{align}
\frac1x=\sqrt A \t +\left(
		\begin{array}{cc}
			A & 0 \\
			0 & 1/A
		\end{array}
	\right)\cdot \frac1x
\end{align}
準同型性から$\epsilon\in \mathbb C^\times$を用いて
\begin{align}
\t+
	\left(
		\begin{array}{cc}
			1 & 0 \\
			-\sigma^2i & 1
		\end{array}
	\right)
\t+
\left(
		\begin{array}{cc}
			1 & 2ia^2 \\
			0 & 1
		\end{array}
	\right)
\t+
	\left(
		\begin{array}{cc}
			1 & 0 \\
			i/(2a^2) & 1
		\end{array}
	\right)\cdot \frac1x=
	
\epsilon\sqrt A\t +
	\left(
		\begin{array}{cc}
			1 & 2ia^2/A \\
			0 & 1
		\end{array}
	\right)
\t+
	\left(
		\begin{array}{cc}
			1 & 0 \\
			iA/(2a^2) & 1
		\end{array}
	\right)\cdot \frac1x
\end{align}
となる。$\epsilon$は$SL(2,\mathbb R)$の普遍被覆群の基本群に関するパラメータ分の不定性を表す。$SL(2,\mathbb R)$の場合$\epsilon=\pm1$である。微分演算子表示から
$$e^{\frac{\sigma^2}2\p^2}e^{-a^2x^2}e^{-\frac{1}{4a^2}\p^2}\cdot\frac1x=\epsilon\sqrt Ae^{-\frac{a^2}Ax^2}e^{-\frac{A}{4a^2}\p^2}\cdot \frac1x$$
$\sigma=0$の式から"$\epsilon=1$"が導き出せるのならば
$$e^{\frac{\sigma^2}2\p^2}\cdot  \left(1-e^{-a^2x^2}e^{-\frac{1}{4a^2}\p^2}\cdot\frac1{ax}\right)=1-e^{-\frac{a^2}Ax^2}e^{-\frac{A}{4a^2}\p^2}\cdot \frac{\sqrt A}{ax}$$
$$e^{\frac{\sigma^2}2\p^2}\cdot  \mathrm{erf}(ax)=\mathrm{erf}(ax/\sqrt A)$$
となりWeierstrass変換の積分表示から
$$\frac1{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\int_{-\infty}^\infty \mathrm{erf}(ax+b)\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)dx=\mathrm{erf}\left(\frac{a\mu+b}{\sqrt{1+2a^2\sigma^2}}\right)$$
を得る。つまり公式1はWeierstrass変換に対する挙動を与えている。
Dawson関数
$D(x)=\frac{\sqrt\pi}{2i}\mathrm{erf}(ix)$
との関連について見る。積分表示は
$$D(x)=e^{-x^2}\int_0^xe^{t^2}dt$$
だが、積分を$\p^{-1}$と定義することができる、つまり
$$\p^{-1}\cdot f(x)=\int_0^xf(t)dt$$
とするとAd作用によって
$D(x)=e^{-x^2}\p^{-1}e^{x^2}\cdot1$
$D(x)=(e^{-x^2}\p e^{x^2})^{-1}\cdot 1$
$D(x)=(\p+2x)^{-1}\cdot 1$
$D(x)=(e^{\frac14\p^2}2xe^{-\frac14\p^2})^{-1}\cdot1$
$D(x)=e^{\frac14\p^2}(2x)^{-1}e^{-\frac14\p^2}\cdot1$
$D(x)=e^{\frac14\p^2}\cdot\frac1{2x}$
と変形できる。実際、微分方程式
$$2xD(x)+D'(x)=1$$
をみたすのでこれの作用の逆演算を考えていることとなる。また、両辺を微分することで簡単に示すことができる次の式
$$\int_{-\infty}^\infty e^{-t^2}\sin(xt)\frac{dt}t=\pi~\mathrm{erf}(x/2)$$
を使うとprinciple valueとしてWeierstrass変換の式から
$$D(x)=\frac1{2\sqrt\pi}\int_{-\infty}^\infty e^{-(x-t)^2}\frac {dt}t$$
となる。次の公式
$D(x)=\frac{\sqrt{\pi}}{2i}\mathrm{erf}(ix)$
に従うと
$ D(x)=-i\frac{\sqrt\pi}{2}+\frac{\sqrt\pi}{2}e^{x^2}e^{\frac14\p^2}\cdot \frac1x$
となるので、やはり定数項が邪魔である。漸近展開から$\mathrm{erfc}$の式を得た時点で間違えていたか？
ところで$e^{\p^2}$は大森氏の＊積の相互変換の演算子であるが、$\mathrm {erf}$は$1/x,e^{x^2}$の＊積にあたる。
$D(x)$の式を用いると他にも
$$\mathrm{erf}(x)=-\frac1{\sqrt\pi}e^{-\frac14\p^2}\cdot\frac1x=\frac1{\p-2x}\cdot\frac2{\sqrt\pi}$$
となる。Weierstrass変換の指数関数を級数展開して作用させると$n!$オーダーで項が発散するためその計算方法だと計算できないが、積分変換として定義することが可能である。Hankel変換では奇関数の場合このような問題が発生するため、偶関数に制限していたが、このような計算を行うことで奇関数に対しても定義域を広げることができると考えている。

上記の議論を何かしら正当化する術を知っている人がいれば建設的な議論を行いたいところである。