月刊誌シリーズ② Cevaとその周辺(2025.5)
ジョバンニ·チェバ(Giovanni Ceva、1647年12月7〜日-1734年7月15日)はイタリアの数学者で、1678年に有名なチェバの定理をDe lineis rectisの中で証明を発表した。
この人の残したチェバの定理でお馴染みだが、この定理の汎用性・素晴らしさにはあまり知られていないものがたくさんある。そこで、今回はその素晴らしい性質について述べていきたい。
前提知識
三角形ABCにおいて、任意の点Oをとり、直線AOとBC、BOとCA、COとABの交点をそれぞれD、E、Fとする。この時、次の等式が成立する。
$\frac{AF}{FB}×\frac{BD}{DC}$×$\frac{CE}{EA}$=1
ただし、ABCDEFはすべて相異なる点でABCは同一直線上でなく、DEFはそれぞれ直線AB,BC,CA上にある。
本題
学校でならうチェバの定理は上の性質だけであったが、じつはチェバの定理はこれだけでは止まらない。さらに進化させたものがそれが存在する。また、これは証明問題において強力である。
三角形ABCでAB,BC,CA上にそれぞれD,E,Fをとる。図のように角をとる。このとき、3直線AF,CD,BEが一点で交わるならば、
逆も成り立つ。
面積比より、
$\frac{BF}{FC}$=$\frac{AB×AF×sinA(red)}{AC×AF×sinA(green)}$
$\frac{CE}{EA}$=$\frac{BC×CE×sinB(red)}{BE×BA×sinB(green)}$
$\frac{AD}{DB}$=$\frac{CA×CD×sinC(red)}{CD×CB×sinC(green)}$
以上を掛け合わせてチェバの定理を用いることで証明ができる。
この性質は、五心の存在を理解するのに非常にイメージが持ちやすくなる(今までの長い証明が簡単になる！)。という点で非常に優れた定理である。しかし、あまり学校では触れられていないイメージがあるので紹介しておく。
どう使うのか？
△ABC の3つの内角の二等分線は1点で交わる
証明:図2-1*（前ページ）を用いる。このときA(red)=A(green),B(red)=B(green),C(red)=C(green)である。従って、前ページが成立する。
コメント
sInAどうし,sInBどうし,sinCどうしのそれぞれが等しいから1×1×1=1となる。ということを利用している。（段違いに証明が楽）
△ABCの各頂点から対辺に下ろした3つの垂線AE, EBF, CDは1点で交わる
A(red)〜C(green)を(90°ーA)、(90°ーB)、(90°ーC)に置き換えると先程の性質に結びつけることができる
演習
ここに載せてある問題は、解説はつけないが今回の記事に関連して解いておいたら良いなと思った問題である。
チェバの定理を証明
チェバの定理の三角比版を用いて外心、重心、傍心の証明をしよう
チェバの定理をつかったジュルゴンヌ点,ナーゲル点の存在証明を調べよう
三角比版の逆の証明
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