【試行錯誤】x→∞ で log(x)/x →？

まえがき

こんにちは、高3のぱぺです。
新学期が始まりましたね。アメリカや中国は新学年か。

本題

今回はこの極限を考えます。
$$\lim_{x\rightarrow ∞} \frac{\log{x}}{x}= \quad ? $$
比較的頻繁に出てそうなやつですね。
前回の極限の記事で実力不足として触れていなかったものですね。

前回の記事は ここから

先ほど 清水団 さんがゆる募をしていらしたので、これをきっかけに自分でしっかり考えてみたいと思います。流石に自明なものとして見逃せなかった。
そういえばこの問題、学校の自習室のホワイトボードにも現在書かれてあるらしいです。この機会は見逃せん。
清水団さんの 該当のツイート

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方法その0-1 ...失敗

接線とかでうまくいかないだろうか。
$y=\log{x}$は上に凸で、$\displaystyle \lim_{x\rightarrow ∞}y'=0$

$x=t$での接線は $\displaystyle y=\frac{1}{t}x-1+\log{t}$

つまり $\displaystyle 0<\log{x}\leq\frac{1}{t}x-1+\log{t}$
両辺$x(>0)$で割って
$$0<\frac{\log{x}}{x}\leq \frac{1}{t}+\frac{\log{t}-1}{x}$$

あとはこれで$x\rightarrow ∞,t\rightarrow ∞$ とすれば...

あれ、これはまずくないか？
どっちの極限を先にとるかどうかで変わりそう。
多分これはダメかもしれない。次。

方法その0-2 ...失敗

$\log$の極限なんだから、大体はさみうちな気がしますね。
そして $\log$ を上下から$x$の冪乗和で評価するなら、被積分関数の評価と積分で攻略する方が速いかも。

$$\log{x}=\int_{1}^{x} \frac{1}{t} dt$$
これを$x$ や $\displaystyle \frac{1}{x^2}$などの項で比較する...
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$x>1$ において考える。
$1\leq t\leq x$ に対して $\displaystyle \frac{1}{x}<\frac{1}{t}<-\frac{1}{x}(t-1)+1$

$[1,x]$の区間で$t$で定積分して
$\displaystyle 1-\frac{1}{x}<\log{x}<-\frac{1}{x}\cdot(x-1)^2+(x-1)$

両辺$x$で割って
$\displaystyle \frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}<\log{x}<-\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{x}\right)^2+1-\frac{1}{x}$

あ、これダメだ。$x\rightarrow ∞$をすると
下は$\displaystyle \frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}\rightarrow0$になるけど

上は$\displaystyle -\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{x}\right)+1-\frac{1}{x}\displaystyle \rightarrow \frac{1}{2}$になっちゃう。

うまくいってない。

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その後しばらく試してわかったことがある。
この「被積分関数を評価して積分する」方法は$x\rightarrow ∞$の極限に向いていない。

つまりするべきは、$x$の近づく先を$∞$から別の有限値にすること。
$\displaystyle x=\frac{1}{y}$ とすればいけるか。

方法その1 ...(成功)

$s$ を正の定数とする。
$$\lim_{x\rightarrow ∞} \frac{\log{x}}{x^s}=\lim_{y\rightarrow +0} -y^s\log{y} \quad -(*)_1\qquad \left(x=\frac{1}{y}\right)$$

$0< y<1$において$-y^s\log{y}$を評価する。

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$s>0,r+s>0$ であるから、
$$\lim_{y\rightarrow +0} \frac{1}{r}(y^s-y^{r+s}) =0$$
また、$s>0, s-r>0$ であるから
$$\lim_{y\rightarrow +0} \frac{1}{r}(y^{s-r}-y^s) =0$$
はさみうちの原理から
$$(*)_1=\lim_{y\rightarrow +0} -y^s\log{y}=0$$
従って、 任意の正の実数$s$について
$$\lim_{x\rightarrow ∞} \frac{\log{x}}{x^s}=0$$
$s=1$ のときを考えれば $$\lim_{x\rightarrow ∞} \frac{\log{x}}{x}=0$$
がいえる。

方法その2 ...成功

$x>1$ で $0<\log{x}< x-1$ を示す。

各辺$x>0$で割って
$$0<\frac{\log{x}}{x}<1-\frac{1}{x}$$

各辺$\displaystyle \frac{2}{x}$ をかけて
$$0<\frac{\log{x^2}}{x^2}<\frac{2}{x}-\frac{2}{x^2}\quad(x>1)$$
$x^2$を$x$に置き換えて
$$0<\frac{\log{x}}{x}<\frac{2}{\sqrt{x}}-\frac{2}{x}\quad(x>1)$$
$$\lim_{x\rightarrow ∞} 0=\lim_{x\rightarrow ∞} \left\{\frac{2}{\sqrt{x}}-\frac{2}{x}\right\}=0$$
より、はさみうちの原理から
$$\lim_{x\rightarrow ∞} \frac{\log{x}}{x}=0$$

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※正の定数$s$とする。途中で評価式の各辺に$\displaystyle \frac{2}{sx}$をかけ、$x^{\frac{2}{s}}$を$x$に置き換えれば、同様の議論で$\displaystyle \lim_{x\rightarrow∞} \frac{\log{x}}{x^s}=0$ を云うことができそう。

$$ \lim_{x\rightarrow ∞}\frac{\log{x}}{x}=\lim_{x\rightarrow ∞}\frac{\log{x^2}}{x^2}=\lim_{x\rightarrow ∞}\frac{2}{x}\frac{\log{x}}{x}$$
を思い浮かぶなんてやっぱおれ天才。

方法その$2'$ ... 亜種

$x>1$で$\displaystyle 0<\log{x}\leq\frac{1}{e}x$ を示す。

各辺$x>0$で割って
$$0<\frac{\log{x}}{x}\leq\frac{1}{e}$$

各辺$\displaystyle \frac{2}{x}$ をかけて
$$0<\frac{\log{x^2}}{x^2}\leq\frac{2}{ex}\quad(x>1)$$
$x^2$を$x$に置き換えて
$$0<\frac{\log{x}}{x}\leq\frac{2}{e\sqrt{x}}\quad(x>1)$$
$$\lim_{x\rightarrow ∞} 0=\lim_{x\rightarrow ∞} \frac{2}{e\sqrt{x}}=0$$
より、はさみうちの原理から
$$\lim_{x\rightarrow ∞} \frac{\log{x}}{x}=0$$

(方法3) ...クラスメイトの方法

$$\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{\log{x}}{x}>0$$
を示す。

$x>1$で$\displaystyle 0<\frac{\log{x}}{x}<\frac{1}{\sqrt{x}}$.
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow ∞} 0=\lim_{x\rightarrow ∞} \frac{1}{\sqrt{x}}=0$ から、はさみうちの原理より、
$$\lim_{x\rightarrow ∞} \frac{\log{x}}{x}=0$$

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ちゃんと微分使ってるの素晴らしいな。

あとがき

何でもかんでも面積評価することに拘っても、方法3の解き方が出てこなくなるのでよくないですね。

方法2の感想：$\log$ならではの性質を使って、$\displaystyle \frac{2}{x}$をかけても同じ極限を求めることには変わらない、ということに気づいて、ある意味仰天。

学校の自習室には方法2を書きました。

更新欄

2025.9/4.19:20 投稿