9月の宿題

$f(n)=0$と仮定すると
$n!!=m!$
$(i)$$n$が奇数のとき
$n!!$は$3$以上の奇数で$m!$が奇数のとき$m=1$の場合に限られてこのとき$m!=1$より不適
$(ii)$偶数のとき
$n=2k$$(k$は$2$以上の整数$)$このとき,$n!!=2^kk!$
$m\geq k+1$が必要で
$m\geq(k+2)$のおき
$(k+1)(k+2)…m=2^k$
$k+1,k+2$は互いに素で$3$以上よりどちらかは$2$以外の素因数をもち等式に矛盾する
よって$m=k+1$の場合に限られる
よって$k+1=2^k$
$2^k\gt {}_k \mathrm{ C }_0+{}_k \mathrm{ C }_1+{}_k \mathrm{ C }_k=k+2 $となり不適$■$
$f≡0$のとき補題$1$より$n=1,2$に限られて
$m!$の狭義単調増加性により$n$の値に対して高々一つの解しか持ちえないので高々二つの解
以下$f\not\equiv0$とする
$f(x)$の最高次数を$d$とすると整数$a_i$$(i=0,…,d)$をもちいて
$f(x)= \sum_{i=0}^{d} a_ix^i$
$S=\sum_{i=0}^{d} \left| a_i \right| $とすると$f\not\equiv0$より$S$は正の整数でありまた
$\left| f(n) \right|\leq S\sum_{i=0}^{d}n^i\leq S(d+1)n^d$
まず以下の補題を示す

(証明)まず$k=6$のとき
$2^k-(k+1)^2=15\geq0$で成立
$6$以上の整数$k$で$(★)_k$が成立すると仮定すると
$2^{k+1}-(k+2)^2\geq2(k+1)^2-(k+2)^2=k^2-2\geq0(\because k\geq6)$
となり$(★_{k+1})$のとき成立
数学的帰納法により補題$1$は成立$■$

ここから文字はことわりのない限り正の整数を表す
$n\geq36,k= \lbrack \sqrt n \rbrack $とすると補題$1$より
$n\leq(k+1)^2\leq2^k\leq2^{\sqrt n}\leq3^{\sqrt n}$
この不等式から
$n\geq36$のとき,$log_2n\leq\sqrt n,log_3n\leq\sqrt n$…$(■)$を得る
与式が成り立つとき$ f(n)=m!-n!!$
$ \left| f(n) \right| = \left| m!-n!! \right| $
三角不等式より
$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \left| f(n) \right| \geq m!-n!!…① \\ \left| f(n) \right| \geq n!!-m!…② \end{array} \right. \end{eqnarray}$

(証明)
$n$が奇数のとき$n=2k-1$とかけて
$k\geq36d^2+S(d+1)+3(d+1)+36$のとき
$dlog_2k\leq d\sqrt k\leq\frac{k}{6}$
よって,$k^d\leq2^{\frac{k}{6}}$…②
$ n!!-m!- \left| f(n) \right| \geq(n-1)!!-m!-S(d+1)(2k-1)^d$
$ $ $ $$ $ $ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$\geq2^{k-1}(k-1)!-(k-1)!-S(d+1)(2k)^d$
$ $ $ $$ $ $ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$\geq(2^{k-1}-1)(k-1)!-S(d+1)(2k)^d$
$ $ $ $$ $ $ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$\geq2^{\frac{k}{2}}(k-1)!-S(d+1)2^dk^d$
$ $ $ $$ $ $ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$=2^{\frac{k}{6}}2^{\frac{k}{3}}(k-1)!-S(d+1)2^dk^d$
ここで①,$2^{\frac{k}{3}}\geq2^{d+1},(k-1)!\geq S(d+1)$であるから
$n!!-m!- \left| f(n) \right|\geq S(d+1)k^d2^d\gt0$
よって$n!!-m!- \left| f(n) \right| \gt0$となり①に矛盾よって$m\gt\frac{n-1}{2}$が成り立つ
$m$は整数であるから$m\gt\frac{n}{2}$
$n$が偶数のとき
$n=2k$$(k$は正の整数)とおけてこのとき
$n!!=2^kk!$であり
$k\geq36d^2+S(d+1)+36$を満たす任意の整数$k$について
$m\leq\frac{n}{2}(=k)$と仮定すると
$n$が奇数の時と同様にして
$n!!-m!- \left| f(n) \right| \geq2^kk!-k!-S(d+1)(2k)^d$
$ $ $ $$ $ $ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ =(2^k-1)k!-S(d+1)(2k)^d$
$ $ $ $$ $ $ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ \geq2^{\frac{k}{2}}k!-S(d+1)(2k)^d(\because2^k-1\geq2^{k-1}\geq2^{\frac{k}{2}})$
$ $ $ $$ $ $ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$\geq 2^{\frac{k}{6}}2^{\frac{k}{3}}S(d+1)-S(d+1)2^dk^d\gt0$
となり矛盾よって$m\gt\frac{n}{2}$■

$n\geq N_2$のもとで$m\geq n$が成り立つと仮定すると
$n\geq3$より$n!\geq2n!!…③$
また,$n\geq2(d+1)$より
$n!\geq(\frac{n}{2})^{d+1}…④$(証明略)
③,④より!
$m!-n!!- \left| f(n) \right| \geq\frac{1}{2}(\frac{n}{2})^{d+1}-S(d+1)n^d)$
$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $ $ $ $ $ $ $$ $ $ $ $ $$\gt0(\because n\geq2^{d+2}S(d+1))$
これは②に矛盾するよって補題$4$は成り立つ$■$
補題$3,4$より
$n\geq N_1+N_2$を満たす任意の整数$n$について$\frac{n}{2}\lt m\lt n…(♥)$

$n\geq3$より$f(n)\neq0$であり
$(A_1)$$n$が偶数のとき$n=2k$とすると$n!!=2^kk!$であるから

ルジャンドルの定理より
$$v_3(n!!)=v_3(k!)= \sum_{i=1}^{\lbrack log_3k \rbrack } \lbrack \frac{k}{3^i} \rbrack \geq \sum_{i=1}^{\lbrack log_3k \rbrack } (\frac{k}{3^i}-1)\geq \frac{k}{2}(1-(\frac{1}{3})^{\lbrack log_3k \rbrack})-\lbrack log_3k \rbrack\geq\frac{k}{3}-log_3k=\frac{n}{6}-log_3\frac{n}{2}$$
$(A_2)$$n$が奇数のとき$n=2k-1$のとき
$n!!=\frac{(2k)!}{2^kk!}$であることとルジャンドルの定理より
$$v_3(n!!)=v_3(2k!)-v_3(k!)\geq \sum_{i=1}^{\lbrack log_32k \rbrack } (\frac{k}{3^i}-1)\geq\frac{k}{3}-\lbrack log_32k \rbrack\geq\frac{n+1}{6}-\lbrack log_3(n+1) \rbrack$$
$(A_1),(A_2)$から
$v_3(n!!)\geq\frac{n}{6}-\lbrack log_3(n+1) \rbrack\geq\frac{n}{6}- (log_3(3n)+1)=\frac{n}{6}- (log_3n+2)$
また,$f(n)\neq0$のとき
$v_3(f(n))\leq log_3( \left| f(n) \right| )\leq log_3(S(d+1)n^d)\lt dlog_3n+log_3S(d+36))$
整理すると
$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \ v_3(n!!)\geq\frac{n}{6}- (log_3n+2)…⑤\\ \ v_3(f(n))\lt dlog_3n+log_3S(d+4))…⑥ \end{array} \right. \end{eqnarray}$
ここで
$⑤,⑥,■$より
$n\geq (6(d+2))^2+(3+S(d+36))^2(\geq36)$のとき
$v_3(n!!)-v_3(f(n))\gt\frac{n}{6}- (log_3n+2)-(dlog_3n+log_3S(d+4))$
$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $ $ $ $ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ \geq\frac{n}{6}- (log_3n+2+dlog_3n+log_3S(d+36))$
$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $ $ $ $ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ \geq\frac{n}{6}- (\sqrt n+2+d\sqrt n+\sqrt{S(d+36)}$$(\because$補題$1)$
$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $ $ $ $ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ =( \frac{\sqrt n}{6}-(d+1))\sqrt n -(2+\sqrt{S(d+36)})$
$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $ $ $ $ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$\geq(d+2-(d+1))(3+S(d+36))-(2+\sqrt{S(d+36)})$
$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $ $ $ $ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$\gt0$
整理すると$ v_3(n!!)\gt v_3(f(n))$ $ ■$
(あとで使いたいので証明で得られた不等式
$n\geq N_2$ を満たす任意の整数$n$について$ \frac{n}{6}- (log_3n+2+dlog_3n+log_3S(d+36))\gt0$…⑦)

ルジャンドルの定理と補題$3,4,5$より
$v_3(m!)-v_3(f(n))\geq \frac{m}{3}-log_3m-log_3(S(d+1)n^d)$
$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$\geq\frac{n}{6}-log_3{n}-(dlog_3n+log_3S(d+36)))$
$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$\gt0(\because⑦)$
よって補題$6$は成立$■$
以上より
$n\geq N_1+N_2+N_3(\geq3)$のとき与式が成立すると仮定すると
$v_3(f(n)+n!!)=v_3(m!)$…⑥が必要で
$f(n)\neq0$かつ補題$5$より
$v_3(f(n+n!!))=v_3(f(n))$となり
$v_3(f(n))=v_3(m!)$が成り立つがしかしこれは補題$6$に矛盾する
よって$n\geq N_1+N_2+N_3(\geq3)$のとき解を持たず
与式が成り立つような$n$は$n\leq N_1+N_2+N_3-1$ここで$m!$の狭義単調増加性により
定めた$n$に対して与式が成り立つような$m$は高々一つでありよって与式を満たす正の整数組$(m,n)$は高々$N_1+N_2+N_3-1$個であり
有限個であることが示される■