複素デカルトの円定理の証明

平行移動$z\to z+w$を考えたとき，
示すべき等式は高々$2$次の$w$の多項式としてあらわされる．
$i=1,2,3,4$について$O_i$を原点になるように平行移動した場合を証明すれば，
異なる$4$つの$w$で成立するためこれは恒等式となる．
対称性から，$O_4$が原点の場合を示せば十分．
必要ならばすべての円の向きを入れ替えて$C_4$が反時計回りとしてよい．

$O_4=O,r_4=r$とおく．
$C_4$と$C_1,C_2,C_3$の接点を$T_1,T_2,T_3$とし，
対応する複素数を$t_1,t_2,t_3$とする．
$t_1-t_2$の値を求めよう．$\angle{T_1AT_2}=\alpha$とおけば
$T_1T_2^2=4r^2\sin^2(\alpha/2)=2r^2(1-\cos\alpha)$
ここで,$AT_1,AT_2$の方向を正とした有向長で
$AO_1=r+r_1,AO_2=r+r_2$が成立し，$O_1O_2=|r_1+r_2|$であるため，
$$\cos\alpha=\frac{(r+r_1)^2+(r+r_2)^2-(r_1+r_2)^2}{2(r+r_1)(r+r_2)}$$
$$=\frac{2r^2+2rr_1+2rr_2-2r_1r_2}{2(r+r_1)(r+r_2)}$$
これを代入して整理すれば
$$T_1T_2^2=\frac{4r^2r_1r_2}{(r+r_1)(r+r_2)}$$
$\triangle{AT_1T_2}$は$AT_1=AT_2$なる二等辺三角形であるから，
$$2\arg(t_1-t_2)=\arg(t_1t_2)+\pi$$
$$\therefore \cos(2\arg(t_1-t_2))+i\sin(2\arg(t_1-t_2))=-\frac{t_1t_2}{r^2}=-\frac{o_1o_2}{(r+r_1)(r+r_2)}$$
これより次のように計算できる
$$(t_1-t_2)^2=-\frac{4r^2r_1r_2o_1o_2}{(r+r_1)^2(r+r_2)^2}=-\frac{4r^2}{\bar{z_1}\bar{z_2}} (\because |o_1|=|r+r_1|,|o_2|=|r+r_2|)$$
$$\therefore t_1-t_2=\pm2ir\frac{1}{\sqrt{\bar{z_1}\bar{z_2}}}$$
$t_2-t_3,t_3-t_1$についても同様であるから，
$$2ir(\pm\frac{1}{\sqrt{\bar{z_1}\bar{z_2}}}\pm\frac{1}{\sqrt{\bar{z_2}\bar{z_3}}}\pm\frac{1}{\sqrt{\bar{z_3}\bar{z_1}}})=0$$(ある符号の選び方で成立)
$$\therefore \pm\sqrt{\bar{z_1}}+\pm\sqrt{\bar{z_2}}+\pm\sqrt{\bar{z_3}}=0$$
$$\therefore \pm\sqrt{z_1}+\pm\sqrt{z_2}+\pm\sqrt{z_3}=0$$
$$\therefore 2(z_1^2+z_2^2+z_3^2)=(z_1+z_2+z_3)^2$$
これは示すべき式となる．