q指数法則, q対数法則
二項定理の$q$類似として, ${}_1\phi_0$に関する $q$二項定理 があるが, それとは別に$q$可換な元に対する以下のようなものも知られている.
$\CC\langle x,y\rangle$を$x,y$によって生成される非可換多項式環とする. このとき, $\CC\langle x,y\rangle[q]/(yx-xyq)$において, 等式
\begin{align}
(x+y)^n&=\sum_{k=0}^n\frac{(q;q)_n}{(q;q)_k(q;q)_{n-k}}x^ky^{n-k}
\end{align}
が成り立つ.
この$yx=xyq$が成り立つ$x,y$を$q$可換という. この定理の証明に関しては
Oddieさんの記事
で分かりやすく解説されている. 今回はこの応用として, $\CC[[x,y]]$において成り立つ指数法則と対数法則
\begin{align}
\exp(x+y)&=\exp(x)\exp(y)\\
\ln(1-(x+y-xy))&=\ln(1-x)+\ln(1-y)
\end{align}
の$q$類似を示す. まず, $\exp(x)$のMaclaurin展開は
\begin{align}
\exp(x)&=\sum_{0\leq n}\frac{x^n}{n!}
\end{align}
であり, $q$二項定理より
\begin{align}
\frac 1{(x;q)_{\infty}}&=\sum_{0\leq n}\frac{x^n}{(q;q)_n}
\end{align}
であるから$((1-q)x;q)_{\infty}$が$\exp(x)$の直接的な$q$類似である.
$x,y$を$q$可換であるとするとき, $x,y$に関する形式的べき級数の間の等式
\begin{align}
\frac 1{(x;q)_{\infty}}\cdot\frac 1{(y;q)_{\infty}}&=\frac 1{(x+y;q)_{\infty}}
\end{align}
が成り立つ.
定理1より,
\begin{align}
\frac{(x+y)^n}{(q;q)_n}&=\sum_{k=0}^n\frac{1}{(q;q)_k(q;q)_{n-k}}x^ky^{n-k}
\end{align}
であるから,
\begin{align}
\frac 1{(x+y;q)_{\infty}}&=\sum_{0\leq n}\frac{(x+y)^n}{(q;q)_n}\\
&=\sum_{0\leq n}\sum_{k=0}^n\frac{1}{(q;q)_k(q;q)_{n-k}}x^ky^{n-k}\\
&=\sum_{0\leq k}\frac{x^k}{(q;q)_k}\sum_{0\leq j}\frac{y^j}{(q;q)_j}\\
&=\frac 1{(x;q)_{\infty}}\cdot\frac 1{(y;q)_{\infty}}
\end{align}
となって示すべき等式が得られる.
次に, 対数関数のMaclaurin展開は
\begin{align}
-\ln(1-x)&=\sum_{0< n}\frac{x^n}n
\end{align}
であるから,
\begin{align}
\sum_{0< n}\frac{x^n}{1-q^n}
\end{align}
に$1-q$を掛けたものが$-\ln(1-x)$の直接的な$q$類似である.
$x,y$を$q$可換であるとするとき, $x,y$に関する形式的べき級数の間の等式
\begin{align}
\sum_{0< n}\frac{(x+y-xy)^n}{1-q^n}&=\sum_{0\leq n}\frac{x^n+y^n}{1-q^n}
\end{align}
が成り立つ.
$x$と$y-xy$は$q$可換であるから, 定理1より
\begin{align}
\sum_{0< n}\frac{(x+y-xy)^n}{1-q^n}&=\sum_{0< n}\frac 1{1-q^n}\sum_{k=0}^n\frac{(q;q)_n}{(q;q)_k(q;q)_{n-k}}x^k(y-xy)^{n-k}\\
&=\sum_{0\leq j,k,j+k\neq 0}\frac{(q;q)_{j+k-1}}{(q;q)_j(q;q)_k}x^k(y-xy)^j\\
&=\sum_{0< k}\frac{x^k}{1-q^k}+\sum_{0< j,0\leq k}\frac{(q;q)_{j+k-1}}{(q;q)_j(q;q)_k}x^k(y-xy)^j
\end{align}
ここで,
$q$二項定理
より,
\begin{align}
\sum_{0\leq k}\frac{(q;q)_{j+k-1}}{(q;q)_j(q;q)_k}x^k&=\frac 1{1-q^j}\sum_{0\leq k}\frac{(q^j;q)_k}{(q;q)_k}x^k\\
&=\frac 1{1-q^j}\frac 1{(x;q)_j}
\end{align}
である. また, $-xy$と$y$は$q$可換であるから, $q$二項定理より,
\begin{align}
(y-xy)^j&=\sum_{l=0}^j\frac{(q;q)_j}{(q;q)_l(q;q)_{j-l}}(-xy)^ly^{j-l}\\
&=\sum_{l=0}^j\frac{(q;q)_j}{(q;q)_l(q;q)_{j-l}}(-x)^lq^{\binom l2}y^j\\
&=(x;q)_jy^j
\end{align}
であるから, これらを代入すると
\begin{align}
\sum_{0< j,0\leq k}\frac{(q;q)_{j+k-1}}{(q;q)_j(q;q)_k}x^k(y-xy)^j&=\sum_{0< j}\frac{y^j}{1-q^j}
\end{align}
を得る. よって, 示すべき等式が得られた.
