1/x^4+1の不定積分の解法

不定積分$\displaystyle\int\frac{dx}{x^4+1}$は，$x^4+1=(x^2+\sqrt{2}x+1)(x^2-\sqrt{2}x+1)$を用いて部分分数分解する解法がオーソドックスですが，今回は少し工夫してこの不定積分を求めていきます．大学受験数学ではあまり見られない手法ですが，初等関数の積分の知識が多少ある人であれば知っていることが多いと思います．

以下，積分定数は省略します．

$\displaystyle I＝\int\frac{dx}{x^4+1}$とおき，分母分子を$x^2$で割ります；$$I=\int\frac{\frac{1}{x^2}}{x^2+\frac{1}{x^2}}dx$$
これを次のように変形します；
$$I=-\int\frac{1-\frac{1}{x^2}}{x^2+\frac{1}{x^2}}dx+\int\frac{1}{x^2+\frac{1}{x^2}}dx$$
第一項を$I_1$とおきます．$\displaystyle x+\frac{1}{x}=t$とおくと，$\displaystyle\left(1-\frac{1}{x^2}\right)dx=dt$なので，
\begin{eqnarray} I_1&=&-\int\frac{dt}{t^2-2}\\ &=&-\frac{1}{2\sqrt{2}}\int\left(\frac{1}{t-\sqrt{2}}-\frac{1}{t+\sqrt{2}}\right)dt\\ &=&-\frac{1}{2\sqrt{2}}\log\left|\frac{t-\sqrt{2}}{t+\sqrt{2}}\right|\\ &=&\frac{1}{2\sqrt{2}}\log\left|\frac{x^2+\sqrt{2}x+1}{x^2-\sqrt{2}x+1}\right| \end{eqnarray}
となります．

第二項を$I_2$とおきます．これは次のように計算できます；
\begin{eqnarray} I_2&=&\int\frac{x^2}{x^4+1}dx\\ &=&\int\frac{x^2+1}{x^4+1}dx-\int\frac{dx}{x^4+1}\\ &=&\frac{1}{2}\int\frac{(x^2+\sqrt{2}x+1)+(x^2-\sqrt{2}x+1)}{(x^2+\sqrt{2}x+1)(x^2-\sqrt{2}x+1)}dx-I\\ &=&\frac{1}{2}\left(\int\frac{dx}{x^2-\sqrt{2}x+1}+\int\frac{dx}{x^2+\sqrt{2}x+1}\right)-I\\ &=&\frac{1}{2}\left(\int\frac{dx}{\left(x-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2＋\frac{1}{2}}+\int\frac{dx}{\left(x+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2＋\frac{1}{2}}\right)-I\\ &=&\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\arctan(\sqrt{2}x-1)+\arctan(\sqrt{2}x+1)\right)-I \end{eqnarray}

これまでの結果を整理して$I$を求めます；
\begin{eqnarray} I&=&I_1+I_2\\ &=&\frac{1}{2\sqrt{2}}\log\left|\frac{x^2+\sqrt{2}x+1}{x^2-\sqrt{2}x+1}\right|+\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\arctan(\sqrt{2}x-1)+\arctan(\sqrt{2}x+1)\right)-I\\ \therefore I&=&\frac{1}{4\sqrt{2}}\log\left|\frac{x^2+\sqrt{2}x+1}{x^2-\sqrt{2}x+1}\right|+\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(\arctan(\sqrt{2}x-1)+\arctan(\sqrt{2}x+1)\right) \end{eqnarray}

定石の解法では部分分数分解する際の分子の係数決定が面倒だったのですが，ここで紹介した解法ではその面倒さを回避しています．

読んでいただきありがとうございました．