1
現代数学解説
文献あり

両側Bailey対に関するBaileyの補題の系

5
0

両側Bailey対について, 以下の結果が成り立つことが知られている.

Berkovich-McCoy-Schilling(1996)

(αn,βn)aに関する両側Bailey対であるとき,
nZ(b,c;q)n(aq/b,aq/c;q)n(aqbc)nαn=(aq,aq/bc;q)(aq/b,aq/c;q)nZ(b,c;q)n(aqbc)nβn
が成り立つ.

この特別な場合として有用な系をいくつかまとめておこうと思う.

(αn,βn)1に関する両側Bailey対のとき,
0nqn2βn=1(q;q)nZqn2αn0nqn22(q12;q)nβn=(q12;q)(q;q)nZqn22αn0n(1)n(q;q2)nβn=(q;q2)2(q2;q2)nZ(1)nαn0nq12n(n1)(q;q)nβn=(q;q)(q;q)nZ(1+qn)q12n(n1)αn0nq12n(n+1)(1;q)nβn=2(q;q)(q;q)nZq12n(n+1)1+qnαn
が成り立つ.

定理1においてa=1とすると,
nZ(b,c;q)n(q/b,q/c;q)n(qbc)nαn=(q,q/bc;q)(q/b,q/c;q)nZ(b,c;q)n(qbc)nβn
b,cとすると1つ目の式を得る. b,c=qとすると2つ目の式を得る. b=q,c=qとすると, 3つ目の式を得る. b,c=qとすると4つ目の式を得る. b,c=1とすると5つ目の式を得る.

(αn,βn)qに関する両側Bailey対のとき,
0nqn2+nβn=1(q2;q)nZqn2+nαn
0nqn2+n2(q;q)nβn=(q;q)(q2;q)nZqn2+n2αn0n(1)n(q2;q2)nβn=12(0n(1)nαnn<0(1)nαn)0nqn22(q12;q)n+1βn=(q12;q)(q2;q)nZ(1+qn+12)qn22αn0nq12n2+n(q12;q)nβn=(q12;q)(q2;q)nZq12n2+n1+qn+12αn

定理1においてa=qとすると,
nZ(b,c;q)n(q2/b,q2/c;q)n(q2bc)nαn=(q,q2/bc;q)(q2/b,q2/c;q)nZ(b,c;q)n(q2bc)nβn
b,cとすると1つ目の式を得る. b,c=qとすると2つ目の式を得る. bq,c=qとすると,
limbq(b;q)n(q/b;q)n={1,n01,n<0
であるから3つ目の式を得る. b,c=q32とすると4つ目の式を得る. b,c=q12とすると5つ目の式を得る.

これらの公式は右辺にq-Pochhammer記号が現れていないところが使いやすい. 例えばαnq-Pochhammer記号を含まないような両側Bailey対が1つ得られると上の系を適用することによっていくつかの等式を得ることができる. また, 両側Bailey格子を用いて1に関する両側Bailey対とqに関する両側Bailey対を変換することによってさらに色々な関係式を得るといった応用もできそうである.

参考文献

[1]
Xiangxin Liu, Lisa Hui Sun, Bilateral Bailey pairs and Rogers-Ramanujan type identities, arXiv:2501.12211v1
投稿日:24日前
更新日:21日前
OptHub AI Competition

この記事を高評価した人

高評価したユーザはいません

この記事に送られたバッジ

バッジはありません。
バッチを贈って投稿者を応援しよう

バッチを贈ると投稿者に現金やAmazonのギフトカードが還元されます。

投稿者

Wataru
Wataru
811
53604
超幾何関数, 直交関数, 多重ゼータ値などに興味があります

コメント

他の人のコメント

コメントはありません。
読み込み中...
読み込み中