両側Bailey対に関するBaileyの補題の系
両側Bailey対について, 以下の結果が成り立つことが知られている.
$(\alpha_n,\beta_n)$が$a$に関する両側Bailey対であるとき,
\begin{align}
\sum_{n\in\ZZ}\frac{(b,c;q)_n}{(aq/b,aq/c;q)_n}\left(\frac{aq}{bc}\right)^n\alpha_n&=\frac{(aq,aq/bc;q)_{\infty}}{(aq/b,aq/c;q)_{\infty}}\sum_{n\in\ZZ}(b,c;q)_n\left(\frac{aq}{bc}\right)^n\beta_n
\end{align}
が成り立つ.
この特別な場合として有用な系をいくつかまとめておこうと思う.
$(\alpha_n,\beta_n)$が$1$に関する両側Bailey対のとき,
\begin{align}
\sum_{0\leq n}q^{n^2}\beta_n&=\frac 1{(q;q)_{\infty}}\sum_{n\in\ZZ}q^{n^2}\alpha_{n}\\
\sum_{0\leq n}q^{\frac{n^2}2}(-q^{\frac 12};q)_n\beta_n&=\frac{(-q^{\frac 12};q)_{\infty}}{(q;q)_{\infty}}\sum_{n\in\ZZ}q^{\frac{n^2}2}\alpha_n\\
\sum_{0\leq n}(-1)^n(q;q^2)_n\beta_n&=\frac{(q;q^2)_{\infty}}{2(q^2;q^2)_{\infty}}\sum_{n\in\ZZ}(-1)^n\alpha_n\\
\sum_{0\leq n}q^{\frac 12n(n-1)}(-q;q)_n\beta_n&=\frac{(-q;q)_{\infty}}{(q;q)_{\infty}}\sum_{n\in\ZZ}(1+q^n)q^{\frac 12n(n-1)}\alpha_n\\
\sum_{0\leq n}q^{\frac 12n(n+1)}(-1;q)_n\beta_n&=\frac{2(-q;q)_{\infty}}{(q;q)_{\infty}}\sum_{n\in\ZZ}\frac{q^{\frac 12n(n+1)}}{1+q^n}\alpha_n
\end{align}
が成り立つ.
定理1において$a=1$とすると,
\begin{align}
\sum_{n\in\ZZ}\frac{(b,c;q)_n}{(q/b,q/c;q)_n}\left(\frac{q}{bc}\right)^n\alpha_n&=\frac{(q,q/bc;q)_{\infty}}{(q/b,q/c;q)_{\infty}}\sum_{n\in\ZZ}(b,c;q)_n\left(\frac{q}{bc}\right)^n\beta_n
\end{align}
$b,c\to\infty$とすると1つ目の式を得る. $b\to\infty, c=-\sqrt q$とすると2つ目の式を得る. $b=\sqrt q, c=-\sqrt q$とすると, 3つ目の式を得る. $b\to\infty, c=-q$とすると4つ目の式を得る. $b\to\infty, c=-1$とすると5つ目の式を得る.
$(\alpha_n,\beta_n)$が$q$に関する両側Bailey対のとき,
\begin{align}
\sum_{0\leq n}q^{n^2+n}\beta_n&=\frac 1{(q^2;q)_{\infty}}\sum_{n\in\ZZ}q^{n^2+n}\alpha_{n}\\
\end{align}
\begin{align}
\sum_{0\leq n}q^{\frac{n^2+n}2}(-q;q)_n\beta_n&=\frac{(-q;q)_{\infty}}{(q^2;q)_{\infty}}\sum_{n\in\ZZ}q^{\frac{n^2+n}2}\alpha_n\\
\sum_{0\leq n}(-1)^n(q^2;q^2)_n\beta_n&=\frac{1}{2}\left(\sum_{0\leq n}(-1)^n\alpha_n-\sum_{n<0}(-1)^n\alpha_n\right)\\
\sum_{0\leq n}q^{\frac {n^2}2}(-q^{\frac 12};q)_{n+1}\beta_n&=\frac{(-q^{\frac 12};q)_{\infty}}{(q^2;q)_{\infty}}\sum_{n\in\ZZ}(1+q^{n+\frac 12})q^{\frac{n^2}2}\alpha_n\\
\sum_{0\leq n}q^{\frac 12n^2+n}(-q^{\frac 12};q)_n\beta_n&=\frac{(-q^{\frac 12};q)_{\infty}}{(q^2;q)_{\infty}}\sum_{n\in\ZZ}\frac{q^{\frac 12n^2+n}}{1+q^{n+\frac 12}}\alpha_n
\end{align}
定理1において$a=q$とすると,
\begin{align}
\sum_{n\in\ZZ}\frac{(b,c;q)_n}{(q^2/b,q^2/c;q)_n}\left(\frac{q^2}{bc}\right)^n\alpha_n&=\frac{(q,q^2/bc;q)_{\infty}}{(q^2/b,q^2/c;q)_{\infty}}\sum_{n\in\ZZ}(b,c;q)_n\left(\frac{q^2}{bc}\right)^n\beta_n
\end{align}
$b,c\to\infty$とすると1つ目の式を得る. $b\to\infty, c=-q$とすると2つ目の式を得る. $b\to q, c=-q$とすると,
\begin{align}
\lim_{b\to q}\frac{(b;q)_n}{(q/b;q)_n}&=\begin{cases}
1,\qquad n\geq 0\\
-1,\qquad n<0
\end{cases}
\end{align}
であるから3つ目の式を得る. $b\to\infty, c=-q^{\frac 32}$とすると4つ目の式を得る. $b\to\infty, c=-q^{\frac 12}$とすると5つ目の式を得る.
これらの公式は右辺に$q$-Pochhammer記号が現れていないところが使いやすい. 例えば$\alpha_n$に$q$-Pochhammer記号を含まないような両側Bailey対が1つ得られると上の系を適用することによっていくつかの等式を得ることができる. また, 両側Bailey格子を用いて$1$に関する両側Bailey対と$q$に関する両側Bailey対を変換することによってさらに色々な関係式を得るといった応用もできそうである.
