テトレーションにおけるmodを紹介します。
テトレーション
のテトレーションをと表記し、次のように定まる値を指す。
の値がが変わったときどの様になるかを考えます。今回よく使う定理を明示します。
少し変形するとを自然数として、次のようになります。
のとき
何があっても自然数が上につくなら、 になります。
のとき
例えば、素数についてのとき、で考えると、
のようになります。 よって十分大きな所では、値が変わらないことが予想されます。
合成数についても
, のとき
のとき
やはり一定になりそうですね。
2以上の整数は(は素数, は1以上の自然数)とおけます。これと先ほどの計算方法から次の命題を示します。
が(は素数, は1以上の自然数)で表されるとき、任意の自然数 に対し、ある自然数に対して、 が成立する。
帰納法を用いる。
で成り立つことは明らか。
として、まで全て成り立っていたとし、の場合を示す。
(i) とが互いに素なとき
仮定よりある について、
よってオイラーの定理より、
が示された。
よって などが与式を満たす。
(ii) とが互いに素でないとき、
(は非負整数、はと互いに素な自然数) とおける。
命題を示すには中国剰余定理などから以下を満たすがあればよい。
前者は各に対し、 を満たす ならいつでも満たす。
後者について、
よりあるで、
となるものがあるから、 となるならいつでも満たす。
よって を満たすについて、
どのくらいで一定になるのか
によって決まる、命題2に登場するの下限をで表すと、下のようになります。
ただし、は、となる最小のを表します。ここで、この数列を以下と評価したいと思います。もっと強い評価は他の人がやってくれると信じています。
上の式によって定義されるは、任意の自然数について、とできる。
この命題から、以下のことが正しいと言えます。
帰納法で示す。
のとき、正しい。
まで正しいとして、 のとき、
(i) と が互いに素なとき、
より、
(ii)と が互いに素でないとき
とおく。各に対し、
よって、
また、 より、
よって、
以上より、.
他の巨大数への応用
まず、ペンテーションと呼ばれるものをみてみましょう。
ペンテーション
のペンテーションをと表記し、次のように定まる値を指す。
例えば、, のようになります。よって命題3から次のことがわかります。
, , を自然数とし、 とする。
を、となる最小の自然数とすれば、に対し、
人類が知っている程度の数はかなり小さいことが多いので、はそんなに大きく取る必要はありません。
テトレーション、ペンテーションは定義2で用いたような矢印表記によって表せます。
今まで考えていたテトレーションは, ペンテーションはに相当します。
また、三つ目の定義式から次のことが言えます。
, , , を自然数とし、, ,とする。
を、となる最小の自然数とすれば、に対し、
に関する帰納法で示す。
のときこれは命題4から明らか。
として、 まで成り立っていたとすると、
から、
より、
まとめ
テトレーションをmodすると、 のの部分が大きくなりまくると変化しなくなることがわかりました。