令和年度国際信州学院大学理学部数学入試問題の第問として出題されたこの問題は有名ですが,その難易度は他の入試問題(国信大を除き)の比ではないです.
その要因としてより値が大きいため予想しづらいことと,にとても近いことが挙げられます.
今回の記事では整数にとても近いという要因を解消しようと思います.
大体手計算のみで時間以内に解けるくらいの問題にしたい
ただ個人的には残しておきたかったので、
このように整数という対象そのものを変えてしまおうという目論見です.
(解きたい人はどうぞ.因みには素数です)
いろいろ試行錯誤(2秒)して出来た問題が
タイトルにもありますが,この問題です
すぐ解説に移るので,解きたい人は今考えてみてください.
双子素数について
一般に「双子素数」と言ったとき,差がの素数の組を指すのか,その組を構成する素数ひとつを指すのかが調べても曖昧だったので,(問題文を短くするために)後者の方にしました.
以下僕なりの考え方と解答を載せます.
解く
値の予想
流石に双子素数では無いだろうと予想して進めていきます
まず大雑把な比較を考えますが,ここで僕が気になったことがという点です.ここで,はの範囲で単調減少であることを思い出すとよりが分かります.
上からの評価は一応できましたが,もちろん初見ではの値は分かっていないのでもっと厳しい評価ができるかもしれません.
以上以下の双子素数は
なので,またはだったらいいなぁと考えます(とかの評価は流石にしたくないのと,値的ににはならなさそう).ととの比較が良さそうなので試してみます.
との比較をすれば良いので,よりまずとの比較を試してみます
乗してよりですがなのでとの大小は判断できません.
ただとの誤差はなのでなんとなくだろうなという予想が立ちます(ここで決めつけて先に進んでもいいですが,結局次の計算をすることになるのでこの段階でします).
との比較をしますが,とをさっき計算したのでそんなに苦じゃないです.
より.よってが分かりました.
残りの証明
あと示さなければいけないことは
年関西医科大学医学部後期の入試問題で誘導付きで出されたらしいですが,今回は与えられていないので定番の周長比較で示します.
半径の円に外接する正角形を考えると,その周長はです.
より,これがより小さいことを示せば(示すことができれば)良いです.
(この値はなのでかなりギリギリでした)
よってとなり,整理するとが示されます.
ちなみに,を知っていれば(or導出できれば)正角形の評価でより簡単に大小比較できます.
かなり厳しい評価が必要です.僕は正角形で考えました
半径の円に内接する正角形の面積はより,これがより大きいことを示せば良いです.
よりとなり,両辺倍することで示せます.
面積比較で示したのは気分です.周長比較でもいけます.
を示した時と同様,を示せばよいです.
そのまま乗してでも良いのですが,さっきのようにがやりやすそうです.
二項定理を使いたいのでさらに工夫できないか考えると,
より示せました.
<別解>
やり方はほぼ同じですが,を示す方も(指数の仮分数を真分数にするという点で)発想としてあると思います.このとき
から示すと良いと思います.それでも繰り上がりがめんどいのでやめます
以上よりからが双子素数でないことが証明できました!
あとがき
が双子素数または整数でないことを大小比較を使わずに証明する方法,また円周率を誘導無しで周長or面積比較以外で示す方法ってあるんでしょうか.
おまけ
暇な人は素数のところを整数にして考えてみてください
以上です. 読んでいただきありがとうございました.