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高校数学解説
文献あり

5^πは双子素数か.

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5π は整数か.

 令和4年度国際信州学院大学理学部数学入試問題の第4問として出題されたこの問題は有名ですが,その難易度は他の入試問題(国信大を除き)の比ではないです.
 その要因として5π=156.9925より値が大きいため予想しづらいことと,157にとても近いことが挙げられます.
 今回の記事では整数にとても近いという要因を解消しようと思います.
 大体手計算のみで2時間以内に解けるくらいの問題にしたい
 ただ個人的に5πは残しておきたかったので、

ボツ

5π は素数か.

 このように整数という対象そのものを変えてしまおうという目論見です.
 (解きたい人はどうぞ.因みに157は素数です)
 いろいろ試行錯誤(2秒)して出来た問題が

5πは双子素数か.

 タイトルにもありますが,この問題です
 すぐ解説に移るので,解きたい人は今考えてみてください.

双子素数について

 一般に「双子素数」と言ったとき,差が2の素数のを指すのか,その組を構成する素数ひとつを指すのかが調べても曖昧だったので,(問題文を短くするために)後者の方にしました.

以下僕なりの考え方と解答を載せます.

解く

値の予想

 流石に双子素数では無いだろうと予想して進めていきます
 
 まず大雑把な比較を考えますが,ここで僕が気になったことが50.14<50.2=55という点です.ここで,xx(x>0)xeの範囲で単調減少であることを思い出すと55<44=1.41より5π<125×1.42=177.5が分かります.

 上からの評価は一応できましたが,もちろん初見では5πの値は分かっていないのでもっと厳しい評価ができるかもしれません.

 125以上177以下の双子素数は
137,139,149,151,(179)
 なので,1395π149または1515π179だったらいいなぁと考えます(149<5π<151とかの評価は流石にしたくないのと,値的に5π<139にはならなさそう).1505πとの比較が良さそうなので試してみます.
 
 65π2の比較をすれば良いので,98<π2<87よりまず6587の比較を試してみます

 7乗して67=279936,58=390625より6<587ですが5π2<587なので65π2の大小は判断できません.
 ただ227πの誤差は0.0012なのでなんとなく150<5πだろうなという予想が立ちます(ここで決めつけて先に進んでもいいですが,結局次の計算をすることになるのでこの段階でします).

 6598の比較をしますが,6758をさっき計算したのでそんなに苦じゃないです.
 68<6×280000=1680000,59>5×390000=1950000より6<598<51.41.よって150<5πが分かりました.

残りの証明

 あと示さなければいけないことは

  • 258<π<3.2の証明

  • 151<5πの証明
     です.はぁ...

π<3.2

 2023年関西医科大学医学部後期の入試問題で誘導付き(01x2(x+1)2(x1)2x2+1)で出されたらしいですが,今回は与えられていないので定番の周長比較で示します.  

 半径12の円に外接する正16角形を考えると,その周長は16tanπ16です.
tanπ16=sinπ81+cosπ8=2221+2+22=(1+2)(4221)
 より,これが15より小さいことを示せば(示すことができれば)良いです.
 15(1+2)+1=2+45
 (422)2(2+45)2=8258225<0 (この値は0.000975なのでかなりギリギリでした)
 よって422<15(1+2)+1となり,整理すると116π<tanπ16<(1+2)(4221)<15が示されます.

 ちなみに,tan7.5°=(32)(21)を知っていれば(or導出できれば)正24角形の評価で3<1.733,1.414<2<1.415より簡単に大小比較できます.

258<π

 かなり厳しい評価が必要です.僕は正48角形で考えました

半径1の円に内接する正48角形の面積は24sinπ24=1222cosπ12=1222+3より,これが258より大きいことを示せば良いです.
 (22+3)2(2596)2>23.7330.0679=3.733010413.733>0
 より22+3>2596となり,両辺12倍することで示せます.

 面積比較で示したのは気分です.周長比較でもいけます.

151<5π

 150<5πを示した時と同様,151<5258を示せばよいです.

そのまま8乗して270281038127131201<298023223876953125でも良いのですが,さっきのように6.04<598がやりやすそうです.

 二項定理を使いたいのでさらに工夫できないか考えると,
6.048<6.068=68×1.0828567056280801<1680000×1.1=1848000<59
 より示せました.

 <別解>
 やり方はほぼ同じですが,1.208<515を示す方も(指数の仮分数を真分数にするという点で)発想としてあると思います.このとき
 1.2085<1.215=1.110から示すと良いと思います.それでも繰り上がりがめんどいのでやめます

以上より151<5π<179から5πが双子素数でないことが証明できました!

あとがき

 5πが双子素数または整数でないことを大小比較を使わずに証明する方法,また円周率を誘導無しで周長or面積比較以外で示す方法ってあるんでしょうか.  

おまけ

おまけ

2e+πは素数か.

暇な人は素数のところを整数にして考えてみてください

以上です. 読んでいただきありがとうございました.

参考文献

投稿日:202359
更新日:2023121
OptHub AI Competition

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